4.3 - 运动学分析 | QuetzalSidera 的个人博客

运动学分析的任务：建立关节输入与末端输出的映射关系。正运动学由关节变量求末端位姿，逆运动学由末端位姿求关节变量。

本篇承接构型综合，在机构构型确定后，需要讨论其运动学建模与求解。重点包括串联机构的正解与逆解、并联机构的逆解、基于POE的速度雅可比，以及工作空间分析。

1. 运动学问题

机器人运动学仅考察运动的几何属性（位移、速度、加速度），不考虑运动过程中施加的力。

正运动学与逆运动学的基本对应：

	正运动学	逆运动学
输入	关节变量 $(\theta, d)$	末端位姿 $(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{p})$
输出	末端位姿 $(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{p})$	关节变量 $(\theta, d)$
串联机构	唯一解，求解简单	多解，求解复杂
并联机构	多解，求解复杂	通常较简单

串联机构位置正解易于处理，逆解相对困难；并联机构位置正解处理困难，逆解相对容易，但部分少自由度并联机构的逆解也较复杂。

分析方法分为两类：

方法	思路	优点	缺点
解析法	建立约束方程组，消去中间参数得到单参数多项式	可求得全部解	难度大，无通用性
数值法	用数值逼近求解非线性方程组（如Newton-Raphson法）	求解速度快，适用性广	一般不能得到全部解，依赖初值选取

2. D-H参数与坐标变换

2.1 D-H参数定义

D-H参数法由 Denavit 和 Hartenberg 于 1955 年提出，为串联机器人每个关节处建立连杆坐标系。前置坐标系（改进D-H法，Khalil & Kleinfinger, 1986）将连杆坐标系 $i$ 固连在关节 $i$ 上（靠近基座一侧）。

四个D-H参数：

参数	符号	定义	性质
连杆长度	$a_{i-1}$	沿 $\boldsymbol{x}_{i-1}$ 轴，从 $\boldsymbol{z}_{i-1}$ 移动到 $\boldsymbol{z}_i$ 的距离	结构参数（常值）
连杆扭角	$\alpha_{i-1}$	绕 $\boldsymbol{x}_{i-1}$ 轴，从 $\boldsymbol{z}_{i-1}$ 旋转到 $\boldsymbol{z}_i$ 的角度，取值 $\pm 90^\circ$	结构参数（常值）
关节偏距	$d_i$	沿 $\boldsymbol{z}_i$ 轴，从 $\boldsymbol{x}_{i-1}$ 移动到 $\boldsymbol{x}_i$ 的距离	移动关节为变量，转动关节为常值
关节转角	$\theta_i$	绕 $\boldsymbol{z}_i$ 轴，从 $\boldsymbol{x}_{i-1}$ 旋转到 $\boldsymbol{x}_i$ 的角度	转动关节为变量，移动关节为常值

连杆坐标系建立规则：

坐标系	规则
中间连杆 $\{i\}$	原点取在 $a_i$ 与关节轴 $\boldsymbol{z}_i$ 的交点； $\boldsymbol{z}_i$ 沿关节轴线方向； $\boldsymbol{x}_i$ 沿 $a_i$ 指向关节 $i+1$ ； $\boldsymbol{y}_i$ 由右手定则确定
基座 $\{0\}$	原点与 $\{1\}$ 原点重合； $\boldsymbol{z}_0$ 与 $\boldsymbol{z}_1$ 重合； $q_1 = 0$ 时 $\boldsymbol{x}_0$ 与 $\boldsymbol{x}_1$ 重合
末端连杆 $\{n\}$	原点在 $a_{n-1}$ 与关节 $n$ 轴线的交点； $\boldsymbol{z}_n$ 与关节 $n$ 轴线重合； $q_n = 0$ 时 $\boldsymbol{x}_n$ 与 $\boldsymbol{x}_{n-1}$ 共线同向

前置坐标系与后置坐标系（标准D-H法）的区别：前置坐标系将连杆坐标系建在靠近基座的关节上（参数下标为 $i-1$ 和 $i$ 混合），后置坐标系建在远离基座的关节上（参数下标统一为 $i$ ）。前置坐标系的关节变量表达更直观，使用更广泛。

2.2 连杆坐标变换

从坐标系 $\{i-1\}$ 到 $\{i\}$ 的齐次变换经四步完成（均相对动坐标系，矩阵从左到右相乘）：

绕 $\boldsymbol{x}_{i-1}$ 旋转 $\alpha_{i-1}$ ： $\text{Rot}(x, \alpha_{i-1})$
沿 $\boldsymbol{x}_{i-1}$ 平移 $a_{i-1}$ ： $\text{Trans}(x, a_{i-1})$
绕 $\boldsymbol{z}_i$ 旋转 $\theta_i$ ： $\text{Rot}(z, \theta_i)$
沿 $\boldsymbol{z}_i$ 平移 $d_i$ ： $\text{Trans}(z, d_i)$

D-H矩阵：

{}^{i-1}\boldsymbol{T}_i =\begin{bmatrix}\cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & a_{i-1} \\\sin\theta_i \cos\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & -d_i \sin\alpha_{i-1} \\\sin\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & d_i \cos\alpha_{i-1} \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

3. 串联机器人正运动学

串联机器人位移正解：已知各关节变量，求末端执行器的位姿。由于各关节运动相互独立，将各级D-H矩阵按顺序相乘即可得到末端位姿。

3.1 D-H参数法

对于 $n$ 自由度串联机器人：

{}^{0}\boldsymbol{T}_n = {}^{0}\boldsymbol{T}_1(\theta_1) \; {}^{1}\boldsymbol{T}_2(\theta_2) \; \cdots \; {}^{n-1}\boldsymbol{T}_n(\theta_n)

末端位姿形式：

{}^{0}\boldsymbol{T}_n = \begin{bmatrix}\boldsymbol{R} & \boldsymbol{p} \\\boldsymbol{0} & 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}n_x & o_x & a_x & p_x \\n_y & o_y & a_y & p_y \\n_z & o_z & a_z & p_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

平面3R机器人（前置坐标系），将 $D_H$ 矩阵连乘得：

{}^{0}\boldsymbol{T}_3 = \begin{bmatrix}\cos\theta_{123} & -\sin\theta_{123} & 0 & l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_{12} \\\sin\theta_{123} & \cos\theta_{123} & 0 & l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_{12} \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

其中 $\theta_{12} = \theta_1 + \theta_2$ ， $\theta_{123} = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3$ 。末端位姿描述为 $(x, y, \varphi) = (l_1c_1 + l_2c_{12},\; l_1s_1 + l_2s_{12},\; \theta_{123})$ 。

SCARA机器人（后置坐标系）：

{}^{0}\boldsymbol{T}_4 = \begin{bmatrix}\cos\theta_{123} & -\sin\theta_{123} & 0 & -l_1\sin\theta_1 - l_2\sin\theta_{12} \\\sin\theta_{123} & \cos\theta_{123} & 0 & l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_{12} \\0 & 0 & -1 & d_1 - d_3 - d_4 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

3.2 POE公式

指数积公式（Product of Exponentials）由 Brockett 于 1983 年提出。与 D-H 参数法相比，POE 公式无需建立各中间连杆坐标系，仅需惯性坐标系 $\{S\}$ 和工具坐标系 $\{T\}$ 两个坐标系。

在给出 POE 公式之前，先回顾旋量理论中两个关键工具：

Rodrigues 公式与空间任意轴的转动（见坐标变换基础）

绕过原点的单位轴 $\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 旋转 $\theta$ 的角度，其旋转矩阵由 Rodrigues 公式给出：
$R_{\hat{\boldsymbol{\omega}}}(\theta) = e^{[\hat{\boldsymbol{\omega}}]\theta} = I + [\hat{\boldsymbol{\omega}}]\sin\theta + [\hat{\boldsymbol{\omega}}]^2(1 - \cos\theta)$
对于空间任意轴（不经过原点），轴的位置用轴线上一点 $\boldsymbol{r}$ 指定。该转动用齐次矩阵表示为：
$e^{[\boldsymbol{\xi}]\theta} = \begin{bmatrix}e^{[\hat{\boldsymbol{\omega}}]\theta} & (\boldsymbol{I} - e^{[\hat{\boldsymbol{\omega}}]\theta})\boldsymbol{r} \\\boldsymbol{0} & 1\end{bmatrix}$
其中 $\boldsymbol{\xi} = (\boldsymbol{\omega}; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega})$ 为描述该空间轴线的单位运动旋量坐标。 $\boldsymbol{\omega} = \theta\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 综合了转轴方向与转角大小。上式将旋转矩阵的指数映射推广到了机构关节的刚体运动描述。

旋量坐标变换与伴随变换矩阵（见旋量理论基础）

设坐标系 $\{A\}$ 到 $\{B\}$ 的齐次变换为 $\boldsymbol{T}_{AB} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t} \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{bmatrix}$ ，旋量 $\boldsymbol{\text{\textdollar}} = (\boldsymbol{s}; \boldsymbol{s}^0)$ 在两坐标系中的坐标满足：
$\boldsymbol{\text{\textdollar}}_B = \operatorname{Ad}_{\boldsymbol{T}_{AB}} \boldsymbol{\text{\textdollar}}_A,\quad\operatorname{Ad}_{\boldsymbol{T}} =\begin{bmatrix}\boldsymbol{R} & \boldsymbol{0} \\[\boldsymbol{t}]\boldsymbol{R} & \boldsymbol{R}\end{bmatrix}_{6\times 6}$
$\operatorname{Ad}_{\boldsymbol{T}}$ 称为伴随变换矩阵，它将旋量在 $\{A\}$ 中的坐标"传递"到 $\{B\}$ 中。伴随变换是 POE 公式中处理关节顺序无关性和坐标变换的核心工具。

第 $i$ 个关节的单位运动旋量坐标：

关节类型	$\boldsymbol{\xi}_i$
转动副	$\begin{bmatrix} \boldsymbol{\omega}_i \\ \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{\omega}_i \end{bmatrix}$
移动副	$\begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{v}_i \end{bmatrix}$

其中 $\boldsymbol{\omega}_i$ 为关节轴线单位方向向量， $\boldsymbol{r}_i$ 为轴线上任一点的位置向量。

记末端位姿矩阵为 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}) = {}^{S}\boldsymbol{T}_T(\boldsymbol{\theta})$ ，正运动学的 POE 公式为：

\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}) = e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1} e^{[\boldsymbol{\xi}_2]\theta_2} \cdots e^{[\boldsymbol{\xi}_n]\theta_n} \; \boldsymbol{g}(\boldsymbol{0})

$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{0})$ 为机器人在零位（所有关节变量为 $0$ ）时工具坐标系相对惯性坐标系的位姿矩阵。若将惯性坐标系取在与零位工具坐标系重合的位置，则 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{I}$ ，公式简化为：

\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}) = e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1} e^{[\boldsymbol{\xi}_2]\theta_2} \cdots e^{[\boldsymbol{\xi}_n]\theta_n}

转动关节的矩阵指数（由 Rodrigues 公式推广得到）：

e^{[\boldsymbol{\xi}]\theta} = \begin{bmatrix}e^{[\boldsymbol{\omega}]\theta} & (\boldsymbol{I} - e^{[\boldsymbol{\omega}]\theta})(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}) + \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{r}\theta \\\boldsymbol{0} & 1\end{bmatrix}

POE 公式与运动副顺序无关——任意交换关节运动顺序，最终结果不变。这一性质由伴随变换保证：

e^{[\boldsymbol{\xi}_2]\theta_2} e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1} = e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1} e^{[\text{Ad}_{e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1}} \boldsymbol{\xi}_2]\theta_2}

D-H参数与运动旋量坐标之间不存在一一映射关系：每个运动副的旋量坐标是相对惯性坐标系描述的（需 6 个参数），不能直接反映相邻杆件之间的相对运动（D-H参数仅需 4 个参数）。两者的转换关系：

\boldsymbol{\xi}_i = \text{Ad}_{{}^{0}\boldsymbol{T}_{i-1}(\boldsymbol{0})} \boldsymbol{\xi}_i'

特性	D-H参数法	POE公式
所需坐标系	$n+1$ 个连杆坐标系	仅惯性系与工具系 2 个
参数个数/关节	4 个	6 个（旋量坐标）
几何直观性	较弱（依赖坐标系定义）	强（直接描述关节轴线的空间位置）
奇异性处理	需特殊处理	无坐标系奇异性问题
数值稳定性	较好	较好

4. 串联机器人逆运动学

串联机器人位移反解：给定末端工具坐标系的期望位形 ${}^{S}\boldsymbol{T}_T$ ，求解对应的关节变量 $(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n)^{\mathrm{T}}$ 。

\theta_i = f_i^{-1}({}^{S}\boldsymbol{T}_T), \quad i = 1, 2, \ldots, n

4.1 逆运动学特点

与正运动学相比，逆运动学求解要复杂得多：

特点	原因
非线性	关节变量相互耦合，方程中含有大量反三角函数，可能产生超越方程
多解性	同一末端位姿通常对应多组关节构型，解的数量取决于运动学方程的最高次数
可能无解	给定位姿超出工作空间时无可行解
可能无穷多解	运动学冗余时（自由度多于任务空间维数）

逆解的存在性由机器人的结构特征决定。Pieper 准则：对于 6-DoF 串联机器人，当后三个相邻关节轴交于一点或相互平行时，位移反解具有封闭解。

4.2 代数法

平面3R机器人逆解：已知末端位姿 $(x, y, \varphi)^{\mathrm{T}}$ ，求解 $(\theta_1, \theta_2, \theta_3)^{\mathrm{T}}$ 。

由正解方程：
$\begin{cases}x = l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_{12} + l_3\cos\theta_{123} \\y = l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_{12} + l_3\sin\theta_{123} \\\varphi = \theta_{123}\end{cases}$
令 $x' = x - l_3\cos\varphi$ ， $y' = y - l_3\sin\varphi$ ，消去 $\theta_3$ 后转化为平面 2R 问题：
$x'^2 + y'^2 = l_1^2 + l_2^2 + 2l_1l_2\cos\theta_2$
解得：
$\begin{aligned}\theta_2 &= \text{Atan2}(\sin\theta_2, \cos\theta_2), \quad \cos\theta_2 = \frac{x'^2 + y'^2 - l_1^2 - l_2^2}{2l_1l_2} \\\theta_1 &= \text{Atan2}\left(\frac{(l_1 + l_2\cos\theta_2)y' - l_2\sin\theta_2 x'}{x'^2 + y'^2}, \frac{(l_1 + l_2\cos\theta_2)x' + l_2\sin\theta_2 y'}{x'^2 + y'^2}\right) \\\theta_3 &= \varphi - \theta_1 - \theta_2\end{aligned}$
由于 $\sin\theta_2 = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta_2}$ ，对应两组解（肘关节向上/向下两种构型）。

5. 并联机构位置逆解

并联机构的位移逆解：已知动平台位姿（位置和姿态），求解各驱动关节的输入量。对大多数并联机构，逆解相对简单——每条支链可独立求解。

以 3-RPS 并联机构为例。机构由定平台、动平台和三条 RPS 支链（转动副-移动副-球面副）组成。每条 RPS 支链在垂直于其转动副轴线的平面内运动。

自由度为 3（两个转动 + 一个移动），产生三个伴随运动（parasitic motion）。

建模步骤：

建立基坐标系 $\{B\}$ 和动平台坐标系 $\{P\}$ 。
写出定平台铰链点 $\boldsymbol{B}_i$ 在 $\{B\}$ 中的坐标，动平台铰链点 $\boldsymbol{P}_i'$ 在 $\{P\}$ 中的坐标。
通过齐次变换 ${}^{B}\boldsymbol{T}_P$ 将 $\boldsymbol{P}_i'$ 变换到基坐标系： ${}^{B}\boldsymbol{P}_i = {}^{B}\boldsymbol{R}_P \boldsymbol{P}_i' + {}^{B}\boldsymbol{p}_P$ 。
各支链杆长约束： $l_i = \|{}^{B}\boldsymbol{P}_i - \boldsymbol{B}_i\|$ 。

给定动平台位姿后，三条支链长度唯一确定，逆解具有封闭形式。

3-RPS 逆解示例：机构参数为 $R$ （定平台外接圆半径）、 $r$ （动平台外接圆半径）。三条支链均匀分布，间隔 $120^\circ$ 。

定平台铰链点 $\boldsymbol{B}_i$ （在 $\{B\}$ 中）：
$\boldsymbol{B}_1 = \begin{bmatrix} R \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{B}_2 = \begin{bmatrix} -R/2 \\ \sqrt{3}R/2 \\ 0 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{B}_3 = \begin{bmatrix} -R/2 \\ -\sqrt{3}R/2 \\ 0 \end{bmatrix}$
动平台铰链点 $\boldsymbol{P}'_i$ （在 $\{P\}$ 中）：
$\boldsymbol{P}'_1 = \begin{bmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{P}'_2 = \begin{bmatrix} -r/2 \\ \sqrt{3}r/2 \\ 0 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{P}'_3 = \begin{bmatrix} -r/2 \\ -\sqrt{3}r/2 \\ 0 \end{bmatrix}$
设动平台位姿为 $\boldsymbol{R}_P$ 、 $\boldsymbol{p}_P = (x_c, y_c, z_c)^{\mathrm{T}}$ ，将 $\boldsymbol{P}'_i$ 变换到基坐标系： ${}^{B}\boldsymbol{P}_i = \boldsymbol{R}_P \boldsymbol{P}'_i + \boldsymbol{p}_P$ 。则杆长约束为：
$l_i = \|{}^{B}\boldsymbol{P}_i - \boldsymbol{B}_i\|, \quad i = 1,2,3$
RPS 支链的几何约束——各支链只能在垂直于其转动副轴线的平面内运动，产生三个耦合方程，可解得伴随运动（ $x_c, y_c$ 及自转角与偏转角的关系）。最终杆长表达式为：
$l_i = \sqrt{({}^{B}P_{ix} - B_{ix})^2 + ({}^{B}P_{iy} - B_{iy})^2 + ({}^{B}P_{iz} - B_{iz})^2}$
给定动平台位姿（三个独立参数），由以上公式直接计算三条支链长度。逆解具有唯一封闭形式。

并联机构位移正解则复杂得多——需要求解多元非线性方程组，通常采用封闭向量多边形法或数值迭代法。

6. 基于POE的速度雅可比

6.1 雅可比矩阵的定义

雅可比矩阵描述向量函数 $\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{X})$ 的微分映射，其中 $\boldsymbol{Y} \in \mathbb{R}^m$ ， $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^n$ ：

\delta\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{J}(\boldsymbol{X}) \, \delta\boldsymbol{X}, \quad \boldsymbol{J} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{X}} \in \mathbb{R}^{m \times n}

机器人末端位姿与关节变量的关系是典型的向量-向量函数。其微分映射即速度映射，对应的雅可比矩阵为速度雅可比矩阵。

速度雅可比矩阵是串联机器人性能分析的基础：

应用方向	说明
奇异性分析	通过雅可比矩阵的秩判定奇异位形
灵巧度	基于雅可比条件数等指标度量运动灵活性
运动解耦性	分析各自由度方向的运动独立性
各向同性	衡量各方向运动能力的均匀程度
刚度分析	关节刚度到末端刚度的映射

末端速度有两种等价的描述方式，分别引向空间雅可比与物体雅可比：

	空间速度	物体速度
定义	${}^{S}\boldsymbol{V} = \dot{\boldsymbol{g}} \boldsymbol{g}^{-1}$	${}^{T}\boldsymbol{V} = \boldsymbol{g}^{-1}\dot{\boldsymbol{g}}$
观察者	惯性坐标系 $\{S\}$	与末端固连的物体坐标系 $\{T\}$
物理含义	末端在空间中的瞬时速度旋量	末端"感受"到的自身速度旋量
对应雅可比	$\boldsymbol{J}_S(\boldsymbol{\theta})$ （空间雅可比）	$\boldsymbol{J}_B(\boldsymbol{\theta})$ （物体雅可比）

两种速度旋量通过伴随变换关联： ${}^{S}\boldsymbol{V} = \operatorname{Ad}_{\boldsymbol{g}} {}^{T}\boldsymbol{V}$ 。

6.2 空间速度雅可比

由 POE 公式 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\theta}) = e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1} \cdots e^{[\boldsymbol{\xi}_n]\theta_n} \; \boldsymbol{g}(\boldsymbol{0})$ ，对时间求导得到末端空间速度旋量：

{}^{S}\boldsymbol{V} = \dot{\boldsymbol{g}} \boldsymbol{g}^{-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \boldsymbol{g}}{\partial \theta_i} \boldsymbol{g}^{-1} \dot{\theta}_i

经推导，第 $i$ 列对应的是变换到当前位形的第 $i$ 个关节的单位运动旋量：

{}^{S}\boldsymbol{V}_T = \boldsymbol{J}_S(\boldsymbol{\theta}) \, \dot{\boldsymbol{\theta}}

\boldsymbol{J}_S(\boldsymbol{\theta}) = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1' & \boldsymbol{\xi}_2' & \cdots & \boldsymbol{\xi}_n' \end{bmatrix}

其中第 $i$ 列为：

\boldsymbol{\xi}_i' = \text{Ad}_{\,e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1} \cdots e^{[\boldsymbol{\xi}_{i-1}]\theta_{i-1}}} \boldsymbol{\xi}_i

即初始位形下的关节旋量 $\boldsymbol{\xi}_i$ 经前 $i-1$ 个关节的刚体运动伴随变换至当前位形。

6.3 物体速度雅可比

定义末端物体速度旋量 ${}^{T}\boldsymbol{V}_T = \boldsymbol{g}^{-1}\dot{\boldsymbol{g}}$ ，对应的物体速度雅可比：

{}^{T}\boldsymbol{V}_T = \boldsymbol{J}_B(\boldsymbol{\theta}) \, \dot{\boldsymbol{\theta}}

空间雅可比与物体雅可比之间通过伴随变换关联：

\boldsymbol{J}_S(\boldsymbol{\theta}) = \text{Ad}_{\boldsymbol{g}} \boldsymbol{J}_B(\boldsymbol{\theta})

SCARA机器人雅可比算例（取惯性系与零位工具系重合）：

四个关节的单位运动旋量：
$\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -l_1 \\ 0 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{\xi}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\;\boldsymbol{\xi}_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -l_1-l_2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
空间速度雅可比为：
$\boldsymbol{J}_S(\boldsymbol{\theta}) = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1' & \boldsymbol{\xi}_2' & \boldsymbol{\xi}_3' & \boldsymbol{\xi}_4' \end{bmatrix}$
其中 $\boldsymbol{\xi}_1' = \boldsymbol{\xi}_1$ ， $\boldsymbol{\xi}_2' = \text{Ad}_{e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1}}\boldsymbol{\xi}_2$ ， $\boldsymbol{\xi}_3' = \text{Ad}_{e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1}e^{[\boldsymbol{\xi}_2]\theta_2}}\boldsymbol{\xi}_3$ ， $\boldsymbol{\xi}_4' = \text{Ad}_{e^{[\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1}e^{[\boldsymbol{\xi}_2]\theta_2}e^{[\boldsymbol{\xi}_3]\theta_3}}\boldsymbol{\xi}_4$ 。

将此构造方式推广到一般情况：各关节初始旋量依次经前序关节的刚体运动伴随变换至当前位形，即得到空间雅可比矩阵的各列。

7. 工作空间分析

工作空间是机器人末端可到达的区域集合，分为：

类型	定义	符号表示
可达工作空间	末端至少能以一种姿态到达的所有位置点的集合	$W_R$
灵巧工作空间	末端可以任何姿态到达的位置点的集合	$W_D$

灵巧工作空间是可达工作空间的子集（ $W_D \subseteq W_R$ ），又称为可达工作空间的一级子空间。当末端位于灵巧工作空间内某点时，末端可绕通过该点的所有直线轴线作整周转动。

7.1 串联机构的工作空间

平面 2R 机器人：

条件	可达工作空间	灵巧工作空间
$l_1 = l_2 = l$	半径为 $2l$ 的圆（含内部）	圆心一点
$l_1 \neq l_2$	内径 $\\|l_1 - l_2\\|$ 、外径 $l_1 + l_2$ 的圆环	空集

$l_1 \neq l_2$ 时，边界圆周上的点对应唯一关节解，内部各点存在两组解。灵巧工作空间为一点或空集时，运动灵活性较差。

平面 3R 机器人（设 $l_1 > l_2 > l_3$ ， $l_1 \leq l_2 + l_3$ ）：

工作空间类型	范围
可达工作空间	半径 $l_1 + l_2 + l_3$ 的圆
灵巧工作空间	内径 $l_1 - l_2 + l_3$ 、外径 $l_1 + l_2 - l_3$ 的圆环

增加一个关节能有效增大灵巧工作空间。

工作空间求解方法：

方法	思路	适用性
解析法	通过运动学正反解方程获得工作空间边界的数学描述	仅适用于简单机构
几何法	逐关节约束叠加得到末端可达范围	可结合计算机绘图，适用性强
离散法（蒙特卡洛法）	在关节空间中离散采样，通过正运动学计算所有位形	通用，计算量大，精度取决于离散密度

小结

主题	核心内容
正运动学	由关节变量求末端位姿。串联机构正解唯一，通过 D-H 矩阵连乘或 POE 公式求解；并联机构正解困难
逆运动学	由末端位姿求关节变量。串联机构逆解多解且耦合，通过代数法、几何法或 Paden-Kahan 子问题求解；并联机构逆解通常较简单
D-H 参数法	四参数（ $a, \alpha, d, \theta$ ）+ 连杆坐标系，系统化建立相邻杆件位姿关系
POE 公式	两坐标系 + 关节旋量坐标，几何直观，避免坐标系奇异性问题
速度雅可比	末端速度与关节速度的线性映射。基于 POE 的雅可比各列为变换到当前位形的关节运动旋量
工作空间	分可达与灵巧两类，是衡量机器人性能的核心指标。受关节行程、杆件干涉等约束

本文未涉及加速度分析（二阶运动学）和奇异性分析，后续篇章将单独讨论。