2.1 - 旋量理论基础

机器人机构学

介绍机构学分析的旋量基础——线几何（Plücker 坐标、格拉斯曼线几何）、旋量与互易积、旋量系与互易旋量系的定义与分类、以及互易旋量系基底的求法（零空间法与 Gram-Schmidt 互易正交化）。

本章为全书后续各章提供数学基础——从三维向量与矩阵出发，经线几何过渡到旋量与旋量系。

1. 线几何

1.1 齐次坐标

在射影几何中，无穷远点视为"理想点"——两条平行直线可看作相交于它们共有的无穷远点；两平行平面可看作相交于其共有的无穷远直线。添加无穷远元素后的三维空间为 三维射影空间 P3P^3。

在射影空间 P3P^3 中，点与平面均用齐次坐标（homogeneous coordinate）表示：

元素齐次坐标说明
点(Px,Py,Pz,1)(P_x, P_y, P_z, 1) 或 (P;P0)(\boldsymbol{P}; P_0)前三个为位置，末位 11 为比例因子
平面(ax,ay,az,1)(a_x, a_y, a_z, 1) 或 (a;a0)(\boldsymbol{a}; a_0)前三个为法向量分量, 平面方程为axx+ayy+azz+1=0a_xx+a_yy+a_zz+ 1=0

直线的齐次表示有两种——两点的连线（射线坐标）与两平面的交线（轴线坐标）：

构造方式Plücker 坐标形式公式
两点连线（射线坐标）(L,M,N;  P,Q,R)(L,M,N;\;P,Q,R)l=q−p\boldsymbol{l} = \boldsymbol{q} - \boldsymbol{p}（方向），l0=p×q\boldsymbol{l}^0 = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{q}（线矩）
两平面交线（轴线坐标）(P,Q,R;  L,M,N)(P,Q,R;\;L,M,N)l=a×b\boldsymbol{l} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}（方向），l0=a0b−b0a\boldsymbol{l}^0 = a_0\boldsymbol{b} - b_0\boldsymbol{a}（线矩）

射线坐标与轴线坐标的区别仅在前三个分量与后三个分量交换位置——射线坐标的 (L,M,N;P,Q,R)(L,M,N;P,Q,R) 对应轴线坐标的 (P,Q,R;L,M,N)(P,Q,R;L,M,N)。

两平面交线推导

设有平面 π1=(a;a0)=(ax,ay,az,a0)\boldsymbol{\pi}_1 = (\boldsymbol{a}; a_0) = (a_x, a_y, a_z, a_0) 和 π2=(b;b0)=(bx,by,bz,b0)\boldsymbol{\pi}_2 = (\boldsymbol{b}; b_0) = (b_x, b_y, b_z, b_0)。两平面的法向量分别为 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b}，交线的方向 l\boldsymbol{l} 垂直于两法向量：l=a×b\boldsymbol{l} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} 。交线上任一点 r\boldsymbol{r} 同时满足两平面方程 a⋅r+a0=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{r} + a_0 = 0 和 b⋅r+b0=0\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{r} + b_0 = 0 ，由此可导出线矩 l0=r×l=a0b−b0a\boldsymbol{l}^0 = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{l} = a_0\boldsymbol{b} - b_0\boldsymbol{a} (三重叉积展开)。

1.2 Plücker 坐标

a. 直线的 Plücker 坐标

空间中一条直线经过两点 p(px,py,pz)\boldsymbol{p}(p_x, p_y, p_z) 和 q(qx,qy,qz)\boldsymbol{q}(q_x, q_y, q_z) 。定义方向矢量 s=q−p\boldsymbol{s} = \boldsymbol{q} - \boldsymbol{p}：

s=(L,M,N)T=[qx−pxqy−pyqz−pz]\boldsymbol{s} = (L, M, N)^{\mathrm{T}} =\begin{bmatrix}q_x - p_x \\ q_y - p_y \\ q_z - p_z\end{bmatrix}

令线矩 s0=r×s=p×s\boldsymbol{s}_0 = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{s}（r\boldsymbol{r} 为直线上任一点的位置矢量），则：

s0=(P,Q,R)T=[p]s=[py(qz−pz)−pz(qy−py)pz(qx−px)−px(qz−pz)px(qy−py)−py(qx−px)]\boldsymbol{s}_0 = (P, Q, R)^{\mathrm{T}} =[\boldsymbol{p}]\boldsymbol{s} =\begin{bmatrix}p_y(q_z-p_z) - p_z(q_y-p_y) \\p_z(q_x-p_x) - p_x(q_z-p_z) \\p_x(q_y-p_y) - p_y(q_x-p_x)\end{bmatrix}

定义六维线矢量，即是此直线的 Plücker 坐标：

$=[ss0]=(L,M,N;  P,Q,R)\boldsymbol{\text{\textdollar}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{s} \\ \boldsymbol{s}_0 \end{bmatrix}= (L, M, N;\; P, Q, R)

归一化表达

$=ρ$^,其中ρ=∥s∥\boldsymbol{\text{\textdollar}} = \rho \hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}, 其中 \rho = \|\boldsymbol{s}\|

b. 线矢量的性质

由 s⋅s0=s⋅(r×s)=0\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}_0 = \boldsymbol{s} \cdot (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s}) = 0 ，得 LP+MQ+NR=0LP + MQ + NR = 0。

六个 Plu¨ckerPlücker 坐标满足归一化条件 s^⋅s^=1\hat{\boldsymbol{s}} \cdot \hat{\boldsymbol{s}} = 1 和正交条件 s^⋅s^0=0\hat{\boldsymbol{s}} \cdot \hat{\boldsymbol{s}}_0 = 0，因此只有 4 个独立参数。

2. 旋量

2.1 定义与退化

Ball 的定义：旋量是一条具有节距的直线。单位旋量的 Plu¨ckerPlücker 坐标形式：

$^=(s^;  s^0)=(s^;  r×s^+hs^)=(L,M,N;  P∗,Q∗,R∗)\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = (\hat{\boldsymbol{s}};\; \hat{\boldsymbol{s}}^0)= (\hat{\boldsymbol{s}};\; \boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{s}} + h\hat{\boldsymbol{s}})= (L, M, N;\; P^*, Q^*, R^*)

其中 hh 为节距（pitch），h=s^⋅s^0h = \hat{\boldsymbol{s}} \cdot \hat{\boldsymbol{s}}^0 。旋量可写成对偶数形式：$^=s^+εs^0\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = \hat{\boldsymbol{s}} + \varepsilon \hat{\boldsymbol{s}}^0（s^\hat{\boldsymbol{s}} 为原部，s^0\hat{\boldsymbol{s}}^0 为对偶部）。

对偶数形式中 ε\varepsilon 是对偶单位，类似于虚数单位 ii, ε=0\varepsilon = 0, 但 ε2≠0\varepsilon^2 \neq 0, 表示 旋转+ε×平移旋转 + \varepsilon \times 平移, 从而将旋转与平移放进一个代数系统

节距退化物理意义
h=0h = 0单位线矢量 $^=(s^;r×s^)\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = (\hat{\boldsymbol{s}}; \boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{s}})纯力或纯转动
h=∞h = \infty单位偶量 $^=(0;s^)\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = (\boldsymbol{0}; \hat{\boldsymbol{s}})纯力偶或纯平动
h≠0h \neq 0-力与力偶的同轴叠加

一般旋量为单位旋量与幅值（pp）的乘积：$=p$^=(L,M,N;P∗,Q∗,R∗)\boldsymbol{\text{\textdollar}} = p\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = (L, M, N; P^*, Q^*, R^*)。

从任意旋量的 Plu¨ckerPlücker 坐标反推节距与轴线位置：

h=s⋅s0s⋅s,r=s×s0s⋅sh = \frac{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}^0}{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}},\qquad\boldsymbol{r} = \frac{\boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s}^0}{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}}

证明： 由 $=p$^=(s;s0)=p(s^;r×s^+hs^)\boldsymbol{\text{\textdollar}} = p\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = (\boldsymbol{s}; \boldsymbol{s}^0) = p(\hat{\boldsymbol{s}}; \boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{s}} + h\hat{\boldsymbol{s}}) ，有 s=ps^\boldsymbol{s} = p\hat{\boldsymbol{s}}，s0=p(r×s^+hs^)\boldsymbol{s}^0 = p(\boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{s}} + h\hat{\boldsymbol{s}})。 则 s⋅s=p2\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s} = p^2。s⋅s0=ps^⋅p(r×s^+hs^)=p2[s^⋅(r×s^)⏟=0+h]=p2h\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}^0 = p\hat{\boldsymbol{s}} \cdot p(\boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{s}} + h\hat{\boldsymbol{s}}) = p^2[\underbrace{\hat{\boldsymbol{s}} \cdot (\boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{s}})}_{=0} + h] = p^2 h ，故 h=s⋅s0s⋅sh = \frac{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}^0}{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}}。 又 s×s0=ps^×p(r×s^+hs^)=p2[s^×(r×s^)]=p2[(s^⋅s^)r−(s^⋅r)s^]=p2[r−(s^⋅r)s^]\boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s}^0 = p\hat{\boldsymbol{s}} \times p(\boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{s}} + h\hat{\boldsymbol{s}}) = p^2[\hat{\boldsymbol{s}} \times (\boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{s}})] = p^2[(\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\hat{\boldsymbol{s}})\boldsymbol{r} - (\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\boldsymbol{r})\hat{\boldsymbol{s}}] = p^2[\boldsymbol{r} - (\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\boldsymbol{r})\hat{\boldsymbol{s}}]， 除以 s⋅s=p2\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s} = p^2 得 r⊥=r−(s^⋅r)s^\boldsymbol{r}_\perp = \boldsymbol{r} - (\hat{\boldsymbol{s}}\cdot\boldsymbol{r})\hat{\boldsymbol{s}} ，即 r\boldsymbol{r} 垂直于轴线方向的分量。

轴线位置 r\boldsymbol{r} 可任意选取轴线上一点，只要 r×s^\boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{s}} 不变即可（r\boldsymbol{r} 沿 s^\hat{\boldsymbol{s}} 方向平移不改变线矩）。该公式给出的是 ∣r∣|\boldsymbol{r}| 最小的那个——即原点向轴线作垂线的垂足，它唯一确定了轴线在空间中的位置。

2.2 基本运算

a. 加法

两旋量的代数和满足交换律和结合律——$12=$1+$2=(s1+s2)+ε(s10+s20)\boldsymbol{\text{\textdollar}}_{12} = \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 + \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = (\boldsymbol{s}_1+\boldsymbol{s}_2) + \varepsilon(\boldsymbol{s}_1^0+\boldsymbol{s}_2^0)。

b. 互易积

将两旋量的原部与对偶部交换后作点积之和：

$1∘$2=s1⋅s20+s2⋅s10\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = \boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{s}_2^0 + \boldsymbol{s}_2 \cdot \boldsymbol{s}_1^0

引入算子 Δ=[0I3×3I3×30]\boldsymbol{\Delta} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{I}_{3 \times 3} \\ \boldsymbol{I}_{3 \times 3} & \boldsymbol{0} \end{bmatrix} ，互易积可写作 $1∘$2=$1TΔ$2\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2。

旋量 $1=p1$^1\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 = p_1\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_1 与 $2=p2$^2\boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = p_2\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_2 的互易积展开：

$1∘$2=p1p2[(h1+h2)cos⁡α12−a12sin⁡α12]\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 =p_1 p_2\big[(h_1+h_2)\cos\alpha_{12} - a_{12}\sin\alpha_{12}\big]

其中 a12a_{12} 为两轴线的公垂线距离，α12\alpha_{12} 为两轴线的夹角。

证明：设两轴线夹角为 α12\alpha_{12}，公垂线距离为 a12a_{12}。为方便计算，将 s^1\hat{\boldsymbol{s}}_1 沿 zz 轴放置，公垂线沿 xx 轴，并取公垂线方向与 s^1×s^2\hat{\boldsymbol{s}}_1 \times \hat{\boldsymbol{s}}_2 一致： s^1=(0,0,1)\hat{\boldsymbol{s}}_1=(0,0,1)，r1=(0,0,0)\boldsymbol{r}_1=(0,0,0)，s^2=(0,−sin⁡α12,cos⁡α12)\hat{\boldsymbol{s}}_2=(0, -\sin\alpha_{12}, \cos\alpha_{12})，r2=(a12,0,0)\boldsymbol{r}_2=(a_{12}, 0, 0)。 （公垂线方向 r2−r1=(a12,0,0)\boldsymbol{r}_2 - \boldsymbol{r}_1 = (a_{12}, 0, 0) 平行于 s^1×s^2=(sin⁡α12,0,0)\hat{\boldsymbol{s}}_1 \times \hat{\boldsymbol{s}}_2 = (\sin\alpha_{12}, 0, 0)。）

代入互易积定义：

$1∘$2=s^1⋅(r2×s^2+h2s^2)+s^2⋅(r1×s^1+h1s^1)=s^1⋅(r2×s^2)+(h1+h2)(s^1⋅s^2)⏟cos⁡α12+s^2⋅(r1×s^1)⏟=0\begin{aligned}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 &= \hat{\boldsymbol{s}}_1 \cdot (\boldsymbol{r}_2\times\hat{\boldsymbol{s}}_2 + h_2\hat{\boldsymbol{s}}_2) + \hat{\boldsymbol{s}}_2 \cdot (\boldsymbol{r}_1\times\hat{\boldsymbol{s}}_1 + h_1\hat{\boldsymbol{s}}_1) \\&= \hat{\boldsymbol{s}}_1\cdot(\boldsymbol{r}_2\times\hat{\boldsymbol{s}}_2) + (h_1+h_2)\underbrace{(\hat{\boldsymbol{s}}_1\cdot\hat{\boldsymbol{s}}_2)}_{\cos\alpha_{12}} + \underbrace{\hat{\boldsymbol{s}}_2\cdot(\boldsymbol{r}_1\times\hat{\boldsymbol{s}}_1)}_{=0}\end{aligned}

计算 s^1⋅(r2×s^2)\hat{\boldsymbol{s}}_1\cdot(\boldsymbol{r}_2\times\hat{\boldsymbol{s}}_2)：

r2×s^2=(a12,0,0)×(0,−sin⁡α12,cos⁡α12)=(0,  −a12cos⁡α12,  −a12sin⁡α12)\begin{aligned}\boldsymbol{r}_2 \times \hat{\boldsymbol{s}}_2 &= (a_{12}, 0, 0) \times (0, -\sin\alpha_{12}, \cos\alpha_{12}) \\&= (0,\; -a_{12}\cos\alpha_{12},\; -a_{12}\sin\alpha_{12})\end{aligned} s^1⋅(r2×s^2)=(0,0,1)⋅(0,  −a12cos⁡α12,  −a12sin⁡α12)=−a12sin⁡α12\hat{\boldsymbol{s}}_1 \cdot (\boldsymbol{r}_2 \times \hat{\boldsymbol{s}}_2) = (0,0,1) \cdot (0,\; -a_{12}\cos\alpha_{12},\; -a_{12}\sin\alpha_{12}) = -a_{12}\sin\alpha_{12}

因此 $1∘$2=(h1+h2)cos⁡α12−a12sin⁡α12\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = (h_1+h_2)\cos\alpha_{12} - a_{12}\sin\alpha_{12}，乘以幅值 p1p2p_1 p_2 即得原式。

互易积与坐标系选取无关。若两旋量的互易积为零（$1∘$2=0\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = 0），则称它们互为反旋量 （互易旋量）。

2.3 坐标变换

设坐标系 {A}\{A\} 到 {B}\{B\} 的齐次变换矩阵为：

TAB=[Rt0T1]\boldsymbol{T}_{AB} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{R} & \boldsymbol{t} \\\boldsymbol{0}^{\mathrm{T}} & 1\end{bmatrix}

旋量 $=(s;s0)=(s;r×s+hs)\boldsymbol{\text{\textdollar}} = (\boldsymbol{s}; \boldsymbol{s}^0) = (\boldsymbol{s}; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s} + h\boldsymbol{s}) 在 {A}\{A\}、{B}\{B\} 中的坐标分别为 $A=(sA;sA0)\boldsymbol{\text{\textdollar}}_A = (\boldsymbol{s}_A; \boldsymbol{s}_A^0)、$B=(sB;sB0)\boldsymbol{\text{\textdollar}}_B = (\boldsymbol{s}_B; \boldsymbol{s}_B^0)。

分量形式

sB=RsA(旋转变换)\boldsymbol{s}_B = \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A (旋转变换) sB0=[t]RsA+RsA0=t×(RsA)+RsA0(旋转变换+平移变换)\boldsymbol{s}_B^0 = [\boldsymbol{t}]\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A + \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A^0 = \boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A) + \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A^0 (旋转变换 + 平移变换)

推导：原部 s\boldsymbol{s} 是自由矢量，与原点位置无关，仅受旋转作用，故 sB=RsA\boldsymbol{s}_B = \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A。

对偶部 s0=r×s+hs\boldsymbol{s}^0 = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s} + h\boldsymbol{s}。hsh\boldsymbol{s} 是自由矢量，仅受旋转，在 {B}\{B\} 中为 R(hsA)\boldsymbol{R}(h\boldsymbol{s}_A)。r×s\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s} 是线矩——轴线上一点 r\boldsymbol{r} 对坐标系原点的矩；换坐标系后原点变了，r\boldsymbol{r} 也变了，rB=RrA+t\boldsymbol{r}_B = \boldsymbol{R}\boldsymbol{r}_A + \boldsymbol{t}。在 {B}\{B\} 下的线矩：

rB×sB=(RrA+t)×(RsA)=R(rA×sA)+t×(RsA)\boldsymbol{r}_B \times \boldsymbol{s}_B = (\boldsymbol{R}\boldsymbol{r}_A + \boldsymbol{t}) \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A) = \boldsymbol{R}(\boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{s}_A) + \boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A)

其中利用了 (Ra)×(Rb)=R(a×b)(\boldsymbol{R}\boldsymbol{a}) \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{R}(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) 。两项合并，提取公因子 R\boldsymbol{R}：

sB0=rB×sB+hsB=[R(rA×sA)+t×(RsA)]+R(hsA)=R(rA×sA+hsA)+t×(RsA)=RsA0+t×(RsA)\begin{aligned}\boldsymbol{s}_B^0 &= \boldsymbol{r}_B \times \boldsymbol{s}_B + h\boldsymbol{s}_B \\&= \big[\boldsymbol{R}(\boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{s}_A) + \boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A)\big] + \boldsymbol{R}(h\boldsymbol{s}_A) \\&= \boldsymbol{R}(\boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{s}_A + h\boldsymbol{s}_A) + \boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A) \\&= \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A^0 + \boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A)\end{aligned}

RsA0\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A^0 是原对偶部的旋转变换；t×(RsA)\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_A) 是坐标系原点平移 t\boldsymbol{t} 产生的附加线矩。

矩阵形式

根据分量形式可以整理为：

\begin{bmatrix} \boldsymbol{s}_B \\ \boldsymbol{s}_B^0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\boldsymbol{R} & \boldsymbol{0}_{3 \times 3} \\[\boldsymbol{t}]\boldsymbol{R} & \boldsymbol{R}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \boldsymbol{s}_A \\ \boldsymbol{s}_A^0 \end{bmatrix}

该 6×66 \times 6 矩阵称为伴随变换矩阵（adjoint transformation），记作 Ad⁡T\operatorname{Ad}_{\boldsymbol{T}}

即

$B=Ad⁡TAB$A\boldsymbol{\text{\textdollar}}_B = \operatorname{Ad}_{\boldsymbol{T}_{AB}}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_A \operatorname{Ad}_{\boldsymbol{T}_{AB}}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{^A_BR} & \boldsymbol{0}_{3 \times 3} \\[\boldsymbol{^A_Bt}]\boldsymbol{^A_BR} & \boldsymbol{^A_BR}\end{bmatrix}

互易积的坐标不变性

两旋量的互易积在坐标变换下保持不变。

验证 ：记变换后 si′=Rsi\boldsymbol{s}_i' = \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_i，si0′=t×(Rsi)+Rsi0\boldsymbol{s}_i^{0\prime} = \boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_i) + \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_i^0（i=1,2i=1,2 ），代入互易积定义 $1∘$2=s1⋅s20+s2⋅s10\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = \boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{s}_2^0 + \boldsymbol{s}_2 \cdot \boldsymbol{s}_1^0：

$1′∘$2′=(Rs1)⋅[t×(Rs2)+Rs20]+(Rs2)⋅[t×(Rs1)+Rs10]=(Rs1)⋅(t×(Rs2))+(Rs2)⋅(t×(Rs1))⏟互为相反数，相消+(Rs1)⋅(Rs20)+(Rs2)⋅(Rs10)=s1⋅s20+s2⋅s10=$1∘$2\begin{aligned}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1' \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2'&= (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1) \cdot\big[\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2) + \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2^0\big]+ (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2) \cdot\big[\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1) + \boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1^0\big] \\&= \underbrace{(\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1) \cdot (\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2)) + (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2) \cdot (\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1))}_{\text{互为相反数，相消}}+ (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1) \cdot (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2^0) + (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2) \cdot (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1^0) \\&= \boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{s}_2^0 + \boldsymbol{s}_2 \cdot \boldsymbol{s}_1^0 = \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ\boldsymbol{\text{\textdollar}}_2\end{aligned}
text
> $$
text
> $(\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1) \cdot (\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2)) = -(\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_2) \cdot (\boldsymbol{t} \times (\boldsymbol{R}\boldsymbol{s}_1))$（混合积轮换反号），两项相消；$(\boldsymbol{R}\boldsymbol{a}) \cdot (\boldsymbol{R}\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$（旋转保内积）。

互易积不变性保证了互易关系（$1∘$2=0\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = 0）不依赖坐标系选择，是机构约束与自由度分析中空间不变的判据。

2.4 旋量互易

由2.2节的互易积展开式 $1∘$2=p1p2[(h1+h2)cos⁡α12−a12sin⁡α12]\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = p_1p_2\big[(h_1+h_2)\cos\alpha_{12} - a_{12}\sin\alpha_{12}\big] ，两旋量互易（$1∘$2=0\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = 0）的几何条件因节距组合而异。

a. 线矢量（h1=h2=0h_1 = h_2 = 0）

两轴线共面时，线矢量互异。

证明： 代入 h1=h2=0h_1=h_2=0，互易积退化为

$^1∘$^2=−a12sin⁡α12\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_1 \circ \hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_2 = -a_{12}\sin\alpha_{12}

互易条件为 a12=0a_{12} = 0 或 α12=0\alpha_{12} = 0，两轴线相交（a12=0a_{12}=0）或平行（α12=0\alpha_{12}=0），即轴线共面。

b. 纯偶量（h1,h2→∞h_1, h_2 \to \infty）

两个纯偶量始终互易。

证明： 原部为零 $^=(0;s^)\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}} = (\boldsymbol{0}; \hat{\boldsymbol{s}}) ，直接由互易积定义

$^1∘$^2=0⋅s^2+0⋅s^1=0\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_1 \circ \hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_2 = \boldsymbol{0} \cdot \hat{\boldsymbol{s}}_2 + \boldsymbol{0} \cdot \hat{\boldsymbol{s}}_1 = 0

c. 线矢量与偶量（h1=0,h2→∞h_1 = 0, h_2 \to \infty）

互易条件为 s^1⋅s^2=0\hat{\boldsymbol{s}}_1 \cdot \hat{\boldsymbol{s}}_2 = 0，即两轴线垂直。

证明： 线矢量 $^1=(s^1;r1×s^1)\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_1 = (\hat{\boldsymbol{s}}_1; \boldsymbol{r}_1 \times \hat{\boldsymbol{s}}_1)（h1=0h_1=0 ），偶量 $^2=(0;s^2)\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_2 = (\boldsymbol{0}; \hat{\boldsymbol{s}}_2)（h2=∞h_2=\infty）：

$^1∘$^2=s^1⋅s^2+0⋅(r1×s^1)=s^1⋅s^2=cos⁡α12\hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_1 \circ \hat{\boldsymbol{\text{\textdollar}}}_2 = \hat{\boldsymbol{s}}_1 \cdot \hat{\boldsymbol{s}}_2 + \boldsymbol{0} \cdot (\boldsymbol{r}_1 \times \hat{\boldsymbol{s}}_1) = \hat{\boldsymbol{s}}_1 \cdot \hat{\boldsymbol{s}}_2 = \cos\alpha_{12}

d. 一般旋量（h1,h2≠0h_1, h_2 \neq 0）

互易条件为：sin⁡α12cos⁡α12=h1+h2a12\displaystyle \frac{\sin\alpha_{12}}{\cos\alpha_{12}} = \frac{h_1 + h_2}{a_{12}}，即节距之和与公垂线距离的比值决定。

证明： 由互易积展开式为零：

(h1+h2)cos⁡α12−a12sin⁡α12=0(h_1 + h_2)\cos\alpha_{12} - a_{12}\sin\alpha_{12} = 0

即

sin⁡α12cos⁡α12=h1+h2a12\displaystyle \frac{\sin\alpha_{12}}{\cos\alpha_{12}} = \frac{h_1 + h_2}{a_{12}}

旋量互易的几何意义

旋量互异的几何意义

3. 旋量系

3.1 线性相关性

当 nn 个旋量 $i\boldsymbol{\text{\textdollar}}_i（i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n）线性相关时，存在一组不全为零的系数 ωi\omega_i 使得：

∑i=1nωi$i=0\sum_{i=1}^{n} \omega_i \boldsymbol{\text{\textdollar}}_i = \boldsymbol{0}

旋量系的相关性与坐标系选择无关。

将 nn 个旋量的 Plu¨ckerPlücker 坐标排成 n×6n \times 6 矩阵：

A=[L1M1N1P1∗Q1∗R1∗L2M2N2P2∗Q2∗R2∗⋮⋮⋮⋮⋮⋮LnMnNnPn∗Qn∗Rn∗]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}L_1 & M_1 & N_1 & P_1^* & Q_1^* & R_1^* \\L_2 & M_2 & N_2 & P_2^* & Q_2^* & R_2^* \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\L_n & M_n & N_n & P_n^* & Q_n^* & R_n^*\end{bmatrix}

旋量集的秩 r=rank⁡(A)r = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}) 即为其中线性无关旋量的个数。若 r<nr < n ，旋量集线性相关。

坐标变换可以视为右乘可逆矩阵，不改变秩，因此旋量系的相关性与坐标系选择无关。

3.2 定义与分类

nn 个线性无关的旋量张成一个 nn 阶旋量系（screw system），记作 Sn\mathcal{S}_n：

Sn=span⁡{$1,$2,…,$n}\mathcal{S}_n = \operatorname{span}\{\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1, \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2, \ldots, \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n\}

三维刚体运动的自由度为 6（3 转动 + 3 平动），因此旋量系最高为 6 阶。根据阶数从低到高分为旋量一系至旋量六系。

6 阶旋量系的标准基：

$1=(1,0,0;  0,0,0)$2=(0,1,0;  0,0,0)$3=(0,0,1;  0,0,0)$4=(0,0,0;  1,0,0)$5=(0,0,0;  0,1,0)$6=(0,0,0;  0,0,1)\begin{aligned}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 &= (1, 0, 0;\; 0, 0, 0) \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 &= (0, 1, 0;\; 0, 0, 0) \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_3 &= (0, 0, 1;\; 0, 0, 0) \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_4 &= (0, 0, 0;\; 1, 0, 0) \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_5 &= (0, 0, 0;\; 0, 1, 0) \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_6 &= (0, 0, 0;\; 0, 0, 1)\end{aligned}

前三个为沿坐标轴的纯转动（线矢量），后三个为沿坐标轴的纯平动（偶量），线性无关且两两互易正交。

按所含旋量的节距特征，旋量系可细分为以下子类：

类型条件
自互易旋量系基旋量两两互易积为零
偶量系所有元素均为偶量（h=∞h=\infty）
直线旋量系存在一组由 nn 条线性无关线矢量组成的基
线系所有元素均为线矢量（h=0h=0）
不同的旋量系

不变旋量系（invariant screw system ）在位形变化时形式保持不变，所表征的运动具有连续性（不限于瞬时）。不变旋量系与位移子群一一对应（见机构学的群论基础 ），是连接旋量理论与群论分析的桥梁。

4. 互易旋量系

4.1 定义与维数关系

对于 nn 阶旋量系 S\mathcal{S}，所有与 S\mathcal{S} 中每个旋量均互易的旋量构成其互易旋量系（ reciprocal screw system），记作 Sr\mathcal{S}^r：

Sr={$r∣$i∘$r=0,  ∀$i∈S}\mathcal{S}^r = \{\boldsymbol{\text{\textdollar}}^r \mid \boldsymbol{\text{\textdollar}}_i \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = 0,\; \forall \boldsymbol{\text{\textdollar}}_i \in \mathcal{S}\}

维数关系

dim(S)+dim(Sr)=6dim(\mathcal{S})+dim(\mathcal{S}^r)=6

即两者阶数之和恒为 6。

推导：将 S\mathcal{S} 的 nn 个基旋量排成 n×6n \times 6 矩阵 A\boldsymbol{A} 。互易条件 $i∘$r=0\boldsymbol{\text{\textdollar}}_i \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = 0（i=1,…,ni=1,\ldots,n）等价于齐次线性方程组：

AΔ$r=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = \boldsymbol{0}

AΔ\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Delta} 为 n×6n \times 6 矩阵。由 S\mathcal{S} 的 nn 个基线性无关，rank⁡(AΔ)=n\operatorname{rank}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Delta}) = n。解空间维数为 6−n6-n，即 Sr\mathcal{S}^r 的阶数。

互易关系是对称的：(Sr)r=S(\mathcal{S}^r)^r = \mathcal{S}。

4.2 几何关系

由旋量互易的几何意义，可导出旋量系与其互易旋量系之间的四条几何对应：

关系内容
线矢量-线矢量S\mathcal{S} 中的线矢量与 Sr\mathcal{S}^r 中的线矢量必共面（相交或平行）
线矢量-偶量S\mathcal{S} 中的线矢量与 Sr\mathcal{S}^r 中的偶量方向线必正交
偶量-线矢量S\mathcal{S} 中的偶量方向线与 Sr\mathcal{S}^r 中所有旋量的轴线及线矢量均正交
一般旋量-一般旋量两系中一般旋量的轴线满足 (hi+hj)cos⁡αij−aijsin⁡αij=0(h_i + h_j)\cos\alpha_{ij} - a_{ij}\sin\alpha_{ij} = 0

机构学意义：自由度空间（运动旋量系）与约束空间（约束力旋量系）正是通过上述互易几何关系建立对偶——运动旋量系的互易旋量系即为其约束力旋量系。

4.3 基底的求法

给定 nn 阶旋量系 S\mathcal{S} 的 nn 个基旋量，求解其互易旋量系 Sr\mathcal{S}^r 的 6−n6-n 个基旋量，有零空间法和 GramGram-SchmidtSchmidt 互易正交化两种标准方法，以下仅介绍零空间法。

a. 零空间法

将 nn 个基旋量的 Plu¨ckerPlücker 坐标排成 n×6n \times 6 矩阵 A\boldsymbol{A}，构造互易约束矩阵：

J=AΔ∈Rn×6\boldsymbol{J} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\Delta} \in \mathbb{R}^{n \times 6}

其中互易矩阵Δ\boldsymbol{\Delta}:

Δ=(0II0)\boldsymbol{\Delta}=\begin{pmatrix}0 & I\\I & 0 \end{pmatrix}

其作用是将矩阵乘法转换为互易积，等价于将A\boldsymbol{A}的左边三列搬到右边。

互易条件 $i∘$r=0\boldsymbol{\text{\textdollar}}_i \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = 0（i=1,…,ni=1,\ldots,n ）等价于齐次线性方程组 J$r=0\boldsymbol{J} \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = \boldsymbol{0}。求得一组基础解系即为 Sr\mathcal{S}^r 的 6−n6-n 个基旋量。

例：绕 xx 轴的转动（线矢量）与沿 xx 轴的平动（偶量）构成 2 阶旋量系：

$1=(1,0,0;  0,0,0)$2=(0,0,0;  1,0,0)\begin{aligned}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 &= (1, 0, 0;\; 0, 0, 0) \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 &= (0, 0, 0;\; 1, 0, 0)\end{aligned}

构造 J=AΔ=[000100100000]\boldsymbol{J} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\Delta} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ，求解 J$r=0\boldsymbol{J} \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = \boldsymbol{0} 得 6−2=46-2=4 个互易基旋量：

$1r=(0,1,0;  0,0,0)——绕 y 轴的约束力$2r=(0,0,1;  0,0,0)——绕 z 轴的约束力$3r=(0,0,0;  0,1,0)——沿 y 轴的约束力偶$4r=(0,0,0;  0,0,1)——沿 z 轴的约束力偶\begin{aligned}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1^r &= (0, 1, 0;\; 0, 0, 0) \quad \text{——绕 $y$ 轴的约束力} \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_2^r &= (0, 0, 1;\; 0, 0, 0) \quad \text{——绕 $z$ 轴的约束力} \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_3^r &= (0, 0, 0;\; 0, 1, 0) \quad \text{——沿 $y$ 轴的约束力偶} \\\boldsymbol{\text{\textdollar}}_4^r &= (0, 0, 0;\; 0, 0, 1) \quad \text{——沿 $z$ 轴的约束力偶}\end{aligned}

4 个互易基旋量约束了除绕 xx 转动与沿 xx 平动以外的全部 4 个自由度，恰好对应 xx 轴圆柱副（CC 副）的约束力系。

4.4 自互易旋量系

将 nn 阶旋量系的基旋量排为 6×n6 \times n 列向量矩阵 A=[$1  $2  ⋯  $n]\boldsymbol{A} = [\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \; \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 \; \cdots \; \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n]。其自互易矩阵为：

M=ATΔA=[$1∘$1$1∘$2⋯$1∘$n$2∘$1$2∘$2⋯$2∘$n⋮⋮⋱⋮$n∘$1$n∘$2⋯$n∘$n]\boldsymbol{M} = \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{A} =\begin{bmatrix}\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 & \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 & \cdots & \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n \\[2pt]\boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 & \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 & \cdots & \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n \\[2pt]\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2pt]\boldsymbol{\text{\textdollar}}_n \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 & \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 & \cdots & \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_n\end{bmatrix}

若 M=0\boldsymbol{M} = \boldsymbol{0}（即基中任意两旋量的互易积均为零），则 Sn\mathcal{S}_n 为自互易旋量系。

此时可得：

dim(S)+dim(Sr)=2dim(S)=6dim(\mathcal{S})+dim(\mathcal{S}^r)=2dim(\mathcal{S})=6

即：

dim(S)=3dim(\mathcal{S})=3

小结

旋量系与互易旋量系是机构自由度与约束分析的核心工具——运动旋量系（自由度空间）与约束力旋量系（互易旋量系）通过互易关系构成对偶：

对象核心内容
旋量具有节距的直线，(s;  r×s+hs)(\boldsymbol{s};\; \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{s} + h\boldsymbol{s})；h=0h=0 退化为线矢量（纯力/纯转动），h=∞h=\infty 退化为偶量（纯力偶/纯平动）
nn 阶旋量系nn 个线性无关旋量的张成空间；最高 6 阶；相关性由 Plu¨ckerPlücker 坐标矩阵的秩判定，与坐标系无关
自互易旋量系基中任意两旋量互易积均为零；自互易矩阵 M=0\boldsymbol{M}=\boldsymbol{0}，所有特征值为零
互易旋量系与已知旋量系中所有旋量均互易的旋量集合；阶数满足 dim⁡(S)+dim⁡(Sr)=6\dim(\mathcal{S}) + \dim(\mathcal{S}^r) = 6
基底求法零空间法（求解 AΔ$r=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta}\boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = \boldsymbol{0}）通用高效；GramGram-SchmidtSchmidt 互易正交化几何直观

一般旋量可分解为同轴的线矢量与偶量之和：$=(s;r×s)+(0;hs)\boldsymbol{\text{\textdollar}} = (\boldsymbol{s}; \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{s}) + (\boldsymbol{0}; h\boldsymbol{s}) 。旋量系与位移子群的对应关系见机构学的群论基础。