4.1 - 自由度分析 | QuetzalSidera 的个人博客

机构是机器人的骨架——它既是结构本体，也构成驱动、传动与执行系统的基础。前面建立了旋量数学工具与刚体运动描述，从本篇起进入机构本身。

本文介绍机构的基本组成元素（构件、运动副、运动链）与自由度（Degree of Freedom, DoF）的概念和计算方法。

1. 机构的基本组成

机构由构件（link）和运动副（kinematic pair）两类基本元素组成：构件是运动单元体，运动副是构件间的活动连接。

1.1 构件

构件是机械系统中能够进行独立运动的单元体。机器人中的构件多为刚性连杆，简称为杆。机构中固定不动的构件称为机架或基座。

本书主要研究刚性杆，不考虑构件的弹性或柔性变形。

1.2 运动副

运动副是两构件既保持接触又有相对运动的活动连接，在机器人学中常称为关节。机器人的运动学特性主要由运动副类型及其空间布局决定。

机器人中常用的七种运动副：

表中 V 级、IV 级、III 级指运动副引入的约束数（V 级 = 5 约束，IV 级 = 4 约束，III 级 = 3 约束）。R 表示转动自由度，T 表示移动自由度。

转动副和移动副是机器人中最常用的两类运动副。机器人中通常只选用低副（面接触），包括 R、P、H、C、U、E、S 七类。

1.3 运动链

两个或两个以上的构件通过运动副连接而成的可动系统称为运动链（kinematic chain）。

类型	定义	对应的机器人类型
开链（开环）	各构件构成首末不封闭的系统	串联机器人
闭链（闭环）	各构件构成首末封闭的系统	并联机器人
混链	既含闭链又含开链	混联机器人

串联机器人的所有关节按顺序串联，工作空间大、灵巧性高；并联机器人的动平台通过多条支链与基座连接，刚度高、承载能力强；混联机器人兼具二者的特点。

2. 自由度基本概念

2.1 自由度与约束

自由度 $f$ ：确定机械系统位形（或位姿）所需的独立变量（广义坐标）数。空间中一个自由刚体最多具有 6 个自由度——沿三个坐标轴的 3 个移动和绕三个轴线的 3 个转动。

约束 $c$ ：两构件通过运动副连接后，各自的运动会受到限制，这种限制即为约束。被约束的自由度数目称为约束度。

根据 Maxwell 理论，空间中任何物体的自由度 $f$ 与约束度 $c$ 满足：

f + c = 6 \qquad \text{(空间)}

平面运动中则为：

f + c = 3 \qquad \text{(平面)}

对刚性机构而言，运动副的本质就是约束——每个运动副在提供相对运动自由度的同时引入约束。

2.2 自由度与活动度

机构的自由度与活动度（mobility）是两个相关但不可混淆的概念：

概念	定义	适用对象
自由度	机构位形具有的独立参数数目	机构整体或末端执行器
活动度	构件相对于机架的最大独立变量数	机构中所有运动构件

绝大多数情况下二者数值一致，但存在例外：

情况	活动度	自由度	原因
7 关节串联冗余机器人	7	6	末端执行器的自由度上限为 6
6 移动副串联机器人	6	3	末端仅能做三维移动

对串联机器人，自由度指末端执行器相对基座的自由度；对并联机器人，自由度指动平台的自由度。

2.3 局部自由度

局部自由度（passive DoF / idle DoF）是某些构件中存在的、不影响其他构件（尤其是输出构件）运动的自由度。

典型实例：

场景	局部自由度来源
平面凸轮机构中的滚子	滚子绕自身轴线的转动
S-S 连接（两球副直连）	连杆绕自身轴线的 1 个转动

S-S 连接在理论上有 6 个自由度，实际上绕连杆轴线的转动自由是一个局部自由度，有效自由度仅为 5——因此 S-S 在自由度上与 U-S 等效。

2.4 公共约束与冗余约束

公共约束（common constraint ）：机构中所有构件都受到的共同约束，例如平面机构共享两个空间旋转约束与一个垂直平面的移动约束。

机构类型	公共约束数	说明
一般空间机构	0	无公共约束
平面机构	3	所有构件共享三个面外约束
球面机构	3	所有构件共享三个移动约束

旋量系解释：将机构所有运动副表示为运动旋量组成旋量系，若存在一个与该旋量系中每个旋量均互易（不做功）的反旋量，则该反旋量即为机构的一个公共约束。

冗余约束（redundant constraint ，也称虚约束）：机构中部分运动副之间满足某种特殊几何条件，使其中的一些约束对机构的运动不起作用。冗余约束在特定几何条件下才成立——不满足这些条件时，冗余约束变为有效约束，机构将不能运动。

例：Scott-Russell 机构的冗余约束分析

Scott-Russell机构

判断连杆（构件 2）的受力情况：它受到三个平面汇交力线矢的作用，所组成的约束旋量系的维数为 2——即三个约束中只有两个是独立的，存在 1 个冗余约束。

公共约束与冗余约束统称过约束（overconstraint），相应的机构称为过约束机构。

2.5 机构的阶数与分类

机构的阶数（order）描述机构运动所需运动旋量系的维数（Hunt 定义），数值上：

d = 6 - \lambda

其中 $\lambda$ 为公共约束数。平面机构和球面机构的阶数均为 3（ $\lambda = 3$ ）。

按自由度数目对机构分类：

类型	自由度数	说明
少自由度机构	$\text{DoF} < 6$	只能实现部分空间运动
全自由度机构	$\text{DoF} = 6$	可实现空间任意给定运动
冗余自由度机构	$\text{DoF} > 6$	除末端 6-DoF 外具有额外关节自由度

3. 自由度计算公式

3.1 平面自由度公式

平面机构中各构件仅能做平面运动。一个自由构件在平面中有 3 个自由度。设机构由 $N$ 个构件组成，选定一个为机架后：

运动构件数： $n = N - 1$
运动构件的总活动度： $3n$

用 $g$ 个运动副连接构件。第 $i$ 个运动副的自由度为 $f_i$ （在平面中 $0 < f_i \leq 2$ ），则该运动副引入的约束数为 $3 - f_i$ 。

机构的自由度

F = 所有运动构件的活动度 − 所有运动副的约束度

即

F = 3(N - 1) − \sum_{i=1}^{g}(3 - f_i)

或写成

F = 3(N - g - 1) + \sum_{i=1}^{g} f_i

按照运动副引入的约束数（ $3 - f_i$ ），将运动副进一步区分为低副和高副。平面低副（转动副、移动副）引入 2 个约束（ $f_i=1$ ），高副（齿轮副、凸轮副）一般引入 1 个约束（ $f_i=2$ ）：

F = 3(N - 1) - (2P_L + P_H)

其中 $N - 1$ 为活动构件数， $P_L$ 为低副数， $P_H$ 为高副数。

3.2 G-K 公式

将平面机构公式推广到空间。空间中一个自由刚体有 6 个自由度，设 $d$ 为机构的阶数，则：

F = d(N - g - 1) + \sum_{i=1}^{g} f_i

此即 G-K（Grubler-Kutzbach）公式。

参数	含义
$F$	机构自由度
$d$	机构的阶数（一般空间机构 $d=6$ ，平面/球面机构 $d=3$ ）
$N$	构件总数（含机架）
$g$	运动副数目
$f_i$	第 $i$ 个运动副的自由度

传统 G-K 公式（取 $d=6$ 或 $d=3$ ）在计算涉及局部自由度与过约束时会得出错误结果。

考虑公共约束（ $\lambda$ ）、冗余约束（ $\nu$ ）和局部自由度（ $\xi$ ），G-K 公式修正为：

F = d(N - g - 1) + \sum_{i=1}^{g} f_i + \nu - \xi

参数	含义	对 $F$ 的影响
$d$	机构的阶数， $d = 6 - \lambda$	$\lambda \uparrow \;\Rightarrow\; d \downarrow \;\Rightarrow\; F \downarrow$
$\nu$	冗余约束数	$\nu \uparrow \;\Rightarrow\; F \uparrow$
$\xi$	局部自由度数	$\xi \uparrow \;\Rightarrow\; F \downarrow$

修正 G-K 公式是统一的机构自由度计算公式。正确计算的关键在于确定公共约束、冗余约束和局部自由度三个参数。

3.3 计算示例

例 1（平面 3R 开链机器人）

$N = 4$ ， $g = 3$ ， $\sum f_i = 3$ ， $d = 3$ 。

F = 3(4 - 3 - 1) + 3 = 3

例 2（平面 3-RRR 并联机器人）

$N = 8$ ， $g = 9$ ， $\sum f_i = 9$ ， $d = 3$ 。

F = 3(8 - 9 - 1) + 9 = 3

例 3（6-SPS Stewart 平台，局部自由度）

$N = 14$ ， $g = 18$ ， $\sum f_i = 42$ 。

传统 G-K 公式（ $d = 6$ ）：

F = 6(14 - 18 - 1) + 42 = 12

计算结果为 12，但动平台最多只有 6 个自由度。多余的 6 个自由度源于每条 S-P-S 支链中连杆绕自身轴线的转动——这是局部自由度 。使用修正公式（ $d = 6$ ， $\nu = 0$ ， $\xi = 6$ ）：

F = 6(14 - 18 - 1) + 42 + 0 - 6 = 6

例 4（Sarrus 折展机构，过约束）

$N = 6$ ， $g = 6$ ， $\sum f_i = 6$ 。

传统 G-K 公式（ $d = 6$ ）：

F = 6(6 - 6 - 1) + 6 = 0

$F = 0$ 意味着机构被完全锁定，但该机构实际上可以运动。错误原因在于机构的特殊几何配置产生了公共约束（ $\lambda = 3$ ），阶数应为 $d = 3$ 而非 $d = 6$ 。使用修正公式（ $d = 3$ ， $\nu = 0$ ， $\xi = 0$ ）：

F = 3(6 - 6 - 1) + 6 = 3

例 3 和例 4 表明：忽视局部自由度会导致 $F$ 偏大，忽视公共约束会导致 $F$ 偏小（甚至错误地判定机构不可动）。修正 G-K 公式通过显式引入 $\nu$ 和 $\xi$ 两项将两类影响纳入统一框架。

4. 旋量分析法

修正 G-K 公式引入了 $\lambda$ 与 $\nu$ ，但未解决：如何系统化地求出 $\lambda$ 与 $\nu$ 。本节利用旋量理论基础中的互易旋量系工具给出答案。

4.1 运动与约束旋量系

机构中每个单自由度运动副对应一个单位运动副旋量（KP 旋量）。 $g$ 个运动副的 KP 旋量张成机构的运动旋量系 $\mathcal{S}$ ：

\mathcal{S} = \operatorname{span}\{\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1, \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2, \ldots, \boldsymbol{\text{\textdollar}}_g\}

$\mathcal{S}$ 的互易旋量系即为约束旋量系 $\mathcal{S}^r$ ——其中的每个基旋量表示一个对机构不做功的约束力（线矢量）或约束力偶（偶量）：

\mathcal{S} \boldsymbol{\Delta} (\mathcal{S}^r)^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{0}, \qquad \dim(\mathcal{S}) + \dim(\mathcal{S}^r) = 6

常用运动副的 KP 旋量（以轴线上一点 $\boldsymbol{r}$ 和单位方向矢量 $\boldsymbol{u}$ 表达）：

运动副	符号	自由度数	KP 旋量
移动副	P	1	$\boldsymbol{\text{\textdollar}}_P = (\boldsymbol{0};\; \boldsymbol{u})$
转动副	R	1	$\boldsymbol{\text{\textdollar}}_R = (\boldsymbol{u};\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{u})$
螺旋副	H	1	$\boldsymbol{\text{\textdollar}}_H = (\boldsymbol{u};\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{u} + h\boldsymbol{u})$
圆柱副	C	2	$\{(\boldsymbol{u};\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{u}),\; (\boldsymbol{0};\; \boldsymbol{u})\}$
万向铰	U	2	$\{(\boldsymbol{u};\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{u}),\; (\boldsymbol{v};\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v})\}$ （ $\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{v}$ ）
球面副	S	3	$\{(\boldsymbol{e}_x;\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e}_x),\; (\boldsymbol{e}_y;\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e}_y),\; (\boldsymbol{e}_z;\; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e}_z)\}$

多自由度运动副（C、U、S）拆分为若干单自由度分量，每个分量对应一个独立 KP 旋量。此表是旋量法分析机构自由度的基础。

4.2 公共约束与冗余约束

公共约束的旋量表达：公共约束是与机构中每一个运动副的 KP 旋量均互易的约束旋量。

在并联机构中，公共约束即是各支链约束旋量系的交集。

设全部 KP 旋量张成机构总运动旋量系 $\mathcal{S}_m$ ，则公共约束旋量系 $\mathcal{S}^c$ 为 $\mathcal{S}_m$ 的互易旋量系：

\mathcal{S}^c = \{\boldsymbol{\text{\textdollar}}^c \mid \boldsymbol{\text{\textdollar}}_i \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}^c = 0,\; \forall \boldsymbol{\text{\textdollar}}_i \in \mathcal{S}_m\}

公共约束数

\lambda = \dim(\mathcal{S}^c)

机构的阶数

d = 6 - \lambda

公共约束的旋量表达：冗余约束的判断在去除公共约束后进行。将剩余 $t$ 个约束旋量构成旋量系，设其秩为 $k$ 。若 $k < t$ ，多余约束即为冗余：

\nu = t - k

物理含义： $t$ 个约束中仅 $k$ 个线性无关，其余 $t-k$ 个虽存在但对机构运动不产生额外限制。

将旋量法求得的 $\lambda$ （进而 $d = 6 - \lambda$ ）与 $\nu$ 代入修正 G-K 公式：

F = d(N - g - 1) + \sum_{i=1}^{g} f_i + \nu - \xi

4.3 并联机构分析步骤

并联机构由动平台通过 $p$ 条支链与基座连接。将4.2节的判定方法组织为可操作的两套步骤。

a. 自由度分析

步骤	操作	方法
1	判断局部自由度数目 $\xi$	检查 S-S、S-E、E-E 等含局部自由度的运动链
2	建立各分支运动旋量系 $\mathcal{S}_{bi}$	写出分支中每个运动副的 KP 旋量， $i = 1,\ldots,p$
3	求各分支约束旋量系 $\mathcal{S}^{r}_{bi}$	求解 $\mathcal{S}_{bi} \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\text{\textdollar}}^r = \boldsymbol{0}$
4	合成动平台约束旋量系 $\mathcal{S}^r$	$\mathcal{S}^r = \mathcal{S}^{r}_{b1} \cup \mathcal{S}^{r}_{b2} \cup \cdots \cup \mathcal{S}^{r}_{bp}$
5	求动平台运动旋量系 $\mathcal{S}_f$	求解 $\mathcal{S}^r \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\text{\textdollar}} = \boldsymbol{0}$
6	确定自由度性质	从 $\mathcal{S}_f$ 的基旋量判断各自由度的运动类型与方向
7	全周性验证	改变机构位形，重复 2-6；若自由度性质不变则为全周自由度

动平台自由度数 $F = \dim(\mathcal{S}_f)$ 。

b. 公共约束分析

步骤	操作	方法
1	合成机构总运动旋量系 $\mathcal{S}_m$	$\mathcal{S}_m = \mathcal{S}_{b1} \cup \mathcal{S}_{b2} \cup \cdots \cup \mathcal{S}_{bp}$
2	求机构总约束旋量系 $\mathcal{S}^c$	求解 $\mathcal{S}_m \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\text{\textdollar}}^c = \boldsymbol{0}$
3	公共约束数	$\lambda = \dim(\mathcal{S}^c)$ ， $d = 6 - \lambda$

c. 冗余约束分析

步骤	操作	方法
1	建立分支约束旋量集 $\langle\mathcal{S}^r\rangle$	$\langle\mathcal{S}^r\rangle = \mathcal{S}^{r}_{b1} \oplus \mathcal{S}^{r}_{b2} \oplus \cdots \oplus \mathcal{S}^{r}_{bp}$ （直和，保留重复）
2	合成机构总运动旋量系 $\mathcal{S}_m$	$\mathcal{S}_m = \mathcal{S}_{b1} \cup \mathcal{S}_{b2} \cup \cdots \cup \mathcal{S}_{bp}$
3	求机构总约束旋量系 $\mathcal{S}^c$	求解 $\mathcal{S}_m \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\text{\textdollar}}^c = \boldsymbol{0}$
4	求动平台补约束旋量系 $\mathcal{S}^r_c$	$\mathcal{S}^r = \mathcal{S}^c \cup \mathcal{S}^r_c$
5	求补约束旋量集 $\langle\mathcal{S}^r_c\rangle$	根据 $\langle\mathcal{S}^r\rangle = \mathcal{S}^c \oplus \langle\mathcal{S}^r_c\rangle$ ，求得动平台补约束旋量集 $\langle\mathcal{S}^r_c\rangle$
6	冗余约束数	$\nu = \operatorname{card}(\langle\mathcal{S}^r_c\rangle) - \dim(\mathcal{S}^r_c)$

值得注意的是， $\langle\mathcal{S}^r\rangle$ 中的尖括号 $\langle\cdot\rangle$ 表示约束旋量的多重集合 ，用于保留不同分支中出现的重复约束旋量。而不带尖括号的 $\mathcal{S}^r$ 表示由这些约束旋量张成的约束旋量系（线性空间），其中重复约束会自动合并，仅反映约束的独立方向与维数。