线矢量的矩 $\boldsymbol{s}^{0} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s}$ 。若直线过原点，可取线上一点 $\boldsymbol{r} = (0,0,0)$ ，则 $\boldsymbol{s}^{0}= (0,0,0)$，即 $P=Q=R=0$。

方向矢量 $\boldsymbol{s} = \boldsymbol{r}_2 - \boldsymbol{r}_1 = (-2, 0, 2)$，可取 $(-1, 0, 1)$。

线矩 $\boldsymbol{s}^{0} = \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{s} = (1,1,0) \times (-1,0,1) = (1,-1,1)$。

Plücker 坐标：$(-1,0,1;\;1,-1,1)$。$\|\boldsymbol{s}\| = \sqrt{2}$，正规化：

$\boldsymbol{s} = (-1, 1, 2)$，$\boldsymbol{s}^{0} = \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{s} = (1,1,0) \times (-1,1,2) = (2,-2,2)$。

Plücker 坐标：$(-1,1,2;\;2,-2,2)$。$\|\boldsymbol{s}\| = \sqrt{6}$，正规化：

(1) $(1,2,x;\;0,-1,-2)$

$1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + x \cdot (-2) = 0 \;\Rightarrow\; x = -1$

(2) $(2,0,2;\;0,x,0)$

$2 \cdot 0 + 0 \cdot Q + 2 \cdot 0 = 0$，恒成立。$x$ 为任意实数。

(3) $(1,x,0;\;0,0,0)$

矩为零向量，$\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}^{0}$ 恒为 $0$。$x$ 为任意实数。

(4) $(1,x,0;\;0,0,1)$

$1 \cdot 0 + x \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$，恒成立。$x$ 为任意实数。

(a) $L_1 = (1,0,-1;\;0,\frac{1}{\sqrt{2}},0)$，$L_2 = (0,0,1;\;b,0,0)$

$\boldsymbol{s}_1 = (1,0,-1)$，$\|\boldsymbol{s}_1\| = \sqrt{2}$；$\boldsymbol{s}_2 = (0,0,1)$，$\|\boldsymbol{s}_2\| = 1$。

$\cos\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; \theta = 135^\circ$。

$\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = \boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{m}_2 + \boldsymbol{s}_2 \cdot \boldsymbol{m}_1 = (1,0,-1)\cdot(b,0,0) + (0,0,1)\cdot(0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) = b$。

由互易积公式：$b = -\sqrt{2} \cdot 1 \cdot d \cdot \sin 135^\circ = -\sqrt{2} \cdot d \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -d$ ，故 $d = |b|$。

(b) $L_1 = (-1,0,1;\;0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$，$L_2 = (0,0,1;\;b,0,0)$

$\|\boldsymbol{s}_1\| = \sqrt{2}$，$\|\boldsymbol{s}_2\| = 1$。$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; \theta = 45^\circ$。

$\boldsymbol{\text{\textdollar}}_1 \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}}_2 = (-1,0,1)\cdot(b,0,0) + (0,0,1)\cdot(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) = -b$。

$-b = -\sqrt{2} \cdot d \cdot \sin 45^\circ = -d$，故 $d = |b|$。

$\boldsymbol{l} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (1,0,0) \times (0,1,1) = (0,-1,1)$

$\boldsymbol{l}^0 = a_0\boldsymbol{b} - b_0\boldsymbol{a} = 0 \cdot (0,1,1) - 1 \cdot (1,0,0) = (-1,0,0)$

Plücker 坐标（轴线坐标形式）：$(0,-1,1;\;-1,0,0)$。$\|\boldsymbol{l}\| = \sqrt{2}$，正规化：

轴线坐标与射线坐标的区别仅在前三个分量与后三个分量交换位置。此处结果为轴线坐标形式 $(\boldsymbol{l};\boldsymbol{l}^0)$。

面-面关系多用法向量与平面约束关系：对于平面 $\boldsymbol{\pi}_1 = (\boldsymbol{a}; a_0) = (a_x, a_y, a_z, a_0)$ 和 $\boldsymbol{\pi}_2 = (\boldsymbol{b}; b_0) = (b_x, b_y, b_z, b_0)$。两平面的法向量分别为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$

交线垂直于两法向量：

$$\boldsymbol{l} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$$

交线上任一点 $\boldsymbol{r}$ 同时满足两平面方程 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{r} + a_0 = 0$ 和 $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{r} + b_0 = 0$，因此线矩

$$\boldsymbol{l}^0 = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{l} = a_0\boldsymbol{b} - b_0\boldsymbol{a}$$

(a) $(1,0,0;\;x,0,0)$，$h=1$

$\|\boldsymbol{s}\| = 1$，$h = x = 1 \;\Rightarrow\; x = 1$。

(b) $(1,0,0;\;1,x,0)$，$h=1$

$\|\boldsymbol{s}\| = 1$，$h = (1,0,0)\cdot(1,x,0)\equiv 1$，与 $x$ 无关。$x$ 为任意实数。

(c) $(1,0,0;\;1,x,0)$，$h=10$

节距固定为 $1$，不可能为 $10$。无解。

(d) $(1,x,0;\;1,0,0)$，$h=1$

$\|\boldsymbol{s}\|^2 = 1 + x^2$。$h = \dfrac{(1,x,0)\cdot(1,0,0)}{1+x^2} = \dfrac{1}{1+x^2} = 1 \;\Rightarrow\; x = 0$。

坐标系平移 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{a}$。对偶量变化：

因此：

$\boldsymbol{r} = \dfrac{\boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s}^0}{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}} = \dfrac{(1,0,0) \times (0,2,0)}{1} = (0,0,2)$

验证：$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{s} + h\boldsymbol{s} = (0,0,2) \times (1,0,0) + 0 \cdot (1,0,0) = (0,2,0) = \boldsymbol{s}^0$。

轴线上任意一点 $\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r} + t\boldsymbol{s} = (t,\;0,\;2)$（$t \in \mathbb{R}$ ）均给出相同的 $\boldsymbol{s}^0$：

$\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{s} = (t,0,2) \times (1,0,0) = (0,2,0) = \boldsymbol{s}^0$。

平移后 $\boldsymbol{s}^{0}{'} = \boldsymbol{s}^0 - \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{s}$。代入：

利用三重叉积：$\boldsymbol{s} \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{s}) = |\boldsymbol{s}|^2\boldsymbol{a} - (\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{a})\boldsymbol{s}$ ，代入得：

$\boldsymbol{r} - \boldsymbol{a}$ 正是原 $\boldsymbol{r}$ 在新坐标系下的位置。末项 $\frac{\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{s}|^2}\boldsymbol{s}$ 是沿轴线方向的修正量——公式自动将新坐标系下的轴线点调整到离新原点最近的垂足位置。

$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{s}^0=h|s|^2$

• 若 $h=0$，为线矢量
• 若 $|s|=0$：为偶量（有且仅有对偶项）

自互易即 $\boldsymbol{\text{\textdollar}} \circ \boldsymbol{\text{\textdollar}} = 0$，展开得

$$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{s}^0=\overbrace{\boldsymbol{s}\cdot(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{s})}^{=0}+\boldsymbol{s}\cdot h\boldsymbol{s}=h|s|^2$$

即，自互易含两种退化情形。

$$h=0或|s|=0$$

坐标系平移 $\boldsymbol{a}$ 后，方向矢量不变，$\boldsymbol{s}_{i}^{0}{'} = \boldsymbol{s}_i - \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{s}_i$。

由混合积恒等式 $\boldsymbol{s}_2\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{s}_1) = -\boldsymbol{s}_1\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{s}_2)$ （交换两个向量的位置），后两项相消。因此互易积在平移下不变。