点、直线、平面是几何学中最基本的元素。如何表征它们，进而描述其运动，是不同几何理论研究的基础。

本章为全书后续各章提供数学基础——从三维向量与矩阵出发，经线几何过渡到旋量与旋量系。

1. 向量

1.1 点的坐标表示

空间直角坐标系中，点 $P$ 的位置用坐标原点指向该点的向量 $\boldsymbol{P}$ 表示：

其中 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 分别为平行于 $x$、$y$、$z$ 轴的单位向量；$P_x$、$P_y$、$P_z$ 为向量在各轴方向的投影。

写成列向量形式：

1.2 加法与数乘

向量是既有大小又有方向的量。$n$ 维向量是 $n$ 个有序数组成的数组，写成一行称行向量 $\boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$，写成一列称列向量。

两三维向量 $\boldsymbol{u} = u_x \boldsymbol{i} + u_y \boldsymbol{j} + u_z \boldsymbol{k}$ 和 $\boldsymbol{v} = v_x \boldsymbol{i} + v_y \boldsymbol{j} + v_z \boldsymbol{k}$ 的加减法：

加减法满足封闭性，遵循平行四边形或三角形法则。

1.3 点积

向量的点积（内积）：$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$，满足交换律。

几何意义：$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \|\boldsymbol{u}\| \|\boldsymbol{v}\| \cos\theta$ ，其中 $\|\boldsymbol{u}\| = \sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$ 为向量的范数（模）。

1.4 叉积

两向量的叉积生成一个新向量，垂直于两向量张成的平面，方向符合右手定则：

几何意义：$\|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}\| = \|\boldsymbol{u}\| \|\boldsymbol{v}\| \sin\theta$，等于两向量围成的平行四边形面积。

叉积可借助反对称矩阵 $[\boldsymbol{u}]$ 表达为矩阵乘法：

运动学中的关键关系：角速度矢量与位置矢量叉积生成线速度矢量——$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$。

运算律总结：

常用叉积公式：

拉格朗日恒等式：由 $\|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}\| = \|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{v}\|\sin\theta$ 平方，代入 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ ，结合 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{v}\|\cos\theta$ 即得。

三重叉积（左展开）：取分量验证。$x$ 分量： $[\boldsymbol{u} \times (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w})]_x = u_y(v_x w_y - v_y w_x) - u_z(v_z w_x - v_x w_z)$ ，整理为 $v_x(u_x w_x+u_y w_y+u_z w_z) - w_x(u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z) = v_x(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{w}) - w_x(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v})$ 。其余分量同理。右展开可通过将左展开中 $\boldsymbol{u}$ 与 $\boldsymbol{w}$ 交换并取反号得到。

混合积：$\boldsymbol{u} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{w}) = \boldsymbol{v} \cdot (\boldsymbol{w} \times \boldsymbol{u}) = \boldsymbol{w} \cdot (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}) = \det(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})$

2. 矩阵

2.1 矩阵类型

由 $m \times n$ 个数排成的 $m$ 行 $n$ 列数表称为矩阵。矩阵 $A$ 可看作由 $m$ 个 $n$ 维行向量组成，或由 $n$ 个 $m$ 维列向量组成。

2.2 矩阵运算

特征值与特征向量：$A\boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}$，则 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\boldsymbol{u}$ 为对应特征向量。$n$ 阶方阵 $A$ 的特征值满足 $\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$，$\prod \lambda_i = \det(A)$。

相似矩阵与相似变换：若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = PAP^{-1}$，则 $A$ 与 $B$ 的特征值相同。对实对称矩阵，必存在正交矩阵 $P$ 使得 $A = P\Lambda P^{\mathrm{T}}$（对角化）。

矩阵指数：$e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!}$。仅当 $AB = BA$ 时才有 $e^A e^B = e^{A+B}$。

2.3 线性空间

线性空间：设 $V$ 为非空集合，$R$ 为实数域。若加法和数乘运算封闭且满足八条线性运算法则（交换律、结合律、零元素、负元素、单位元素、数乘结合律、数乘分配律×2），则 $V$ 为线性空间。

若 $V$ 中存在 $n$ 个线性无关的元素 $\boldsymbol{a}_1, \ldots, \boldsymbol{a}_n$ 可线性表示 $V$ 中任一元素，则它们构成 $V$ 的一组基，$n$ 为 $V$ 的维数，$(x_1, \ldots, x_n)^{\mathrm{T}}$ 为对应坐标。

线性变换：设 $T$ 为从线性空间 $V$ 到 $U$ 的映射，满足 $T(\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2) = T(\boldsymbol{a}_1)+T(\boldsymbol{a}_2)$ 且 $T(\lambda \boldsymbol{a}) = \lambda T(\boldsymbol{a})$，则 $T$ 为线性变换。若 $P$ 为正交矩阵，线性变换 $\boldsymbol{y} = P\boldsymbol{x}$ 称正交变换——保持向量长度不变。

2.4 雅可比

设 $x_i = f_i(q_1, q_2, \ldots, q_n)$（$i=1, \ldots, n$ ），写成列向量 $\boldsymbol{X} = [f_1(\boldsymbol{q}), \ldots, f_n(\boldsymbol{q})]^{\mathrm{T}}$。对 $\boldsymbol{q}$ 求微分(全微分)：

其中 $\boldsymbol{J}$ 为雅可比矩阵（Jacobian）：

两端同时乘以 $\delta\boldsymbol{q}/\delta t$，得到速度映射：

在机器人学中，若 $\boldsymbol{X}$ 为位置矢量，该式反映关节速度到末端速度的映射。