群论为机构学的运动分析与综合提供了统一的代数框架——刚体的每一种连续运动模式对应一个李群或其子群，运动副的组合对应群的运算。

本文承接介绍机构学所需的群论核心概念：流形、群与李群的定义、子群分类、以及群的五种基本运算（直积、半直积、交、商、乘积）。

1. 流形

流形（manifold）是一个局部同胚于 $\mathbb{R}^n$ 的拓扑空间，可在每个局部区域建立坐标系。微分流形 要求坐标变换映射无限可微。可微意味着函数在每点都有切线（或切平面），局部可用线性函数逼近。

例如：整数集是离散点集，不满足可微条件；实数集是连续的，在其上定义的函数可求导、可微。

流形的维数 $n$ 即其局部坐标所需的独立参数个数。$SO(3)$ 是 3 维微分流形（三个旋转参数），$SE(3)$ 是 6 维微分流形（三个旋转 + 三个平移参数）。李群正是同时具备群结构与微分流形结构、且两者相容的对象。

2. 群与李群

1.1 群的定义

群（group）是一个集合 $G$ 配备一个二元运算 $G \times G \to G$（记作 $g_1 g_2$），满足四条公理：

群由集合 $G$ 与二元运算 $\operatorname{mult}$ 两部分组成。运算 $\operatorname{mult}(a, b)$ 将任意两个元素映射为集合内的一个元素（封闭律）。元素 $a$ 的逆元记作 $\operatorname{inv}(a)$ ，满足 $\operatorname{mult}(a, \operatorname{inv}(a)) = e$。

群的创始人是法国数学家伽罗瓦（Galois），他用群论解决了五次方程的根式求解问题。群论从对称性的研究发展而来，现已成为描述各种对称性的通用数学工具。

例 1：整数关于加法构成群

封闭律： 两整数之和仍是整数；结合律： 整数加法满足结合律；幺元：$0$；逆元：$a$ 的逆元是 $-a$。

例 2：整数关于乘法不构成群

虽然满足封闭律与结合律，幺元 $1$ 也存在，但除 $\pm 1$ 外的大部分整数在整数范围内没有乘法逆元（如 $2$ 的逆元 $1/2 \notin \mathbb{Z}$）。

例 3：非零有理数关于乘法构成群

封闭律： 有理数相乘仍为有理数；结合律: 非零有理数乘法满足结合律；幺元：$1$；逆元：$a$ 的逆元为 $1/a$ （有理数的倒数仍为有理数）。

a. 交换群

若群运算额外满足交换律，则称为交换群（commutative group）或阿贝尔群（Abelian group）：

整数关于加法构成交换群（加法可交换）；非零有理数关于乘法也构成交换群。矩阵乘法不可交换，因此矩阵群不是交换群。

b. 李群

李群是同时满足以下三个条件的群：

3. 子群

群$H$是群$G$的子群，记为 $H \leq G$，需满足三个条件：本身是群（在 $G$ 的运算下封闭）、集合是子集（$H \subset G$）、 单位元相同（$e_H = e_G$）。

每个群包含两类子群：

4. 群的运算

两个（或多个）群之间可通过以下五种运算构造新的群或流形。

4.1 直积

a. 定义

群 $G_1$ 与 $G_2$ 的直积记为 $G_1 \times G_2$。

集合部分：

运算定义：

将 $G_1$ 的元素 $u$ 与 $G_2$ 的元素 $v$ 放在分块矩阵的对角线上构成新矩阵 $\begin{bmatrix} u & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & v \end{bmatrix}$ 。两矩阵相乘时分块独立运算：

$$\begin{bmatrix} u_1 & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & v_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_2 & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & v_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u_1 u_2 & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & v_1 v_2 \end{bmatrix}$$

分块结果恰好对应 $(u_1 u_2,\; v_1 v_2)$，即直积的运算定义。

b. 性质

直积运算组合后的流形不一定满足群的条件。

直积构成群的充要条件：$G_1$ 与 $G_2$ 可交换——即 $\forall u \in G_1, v \in G_2$ 有 $uv = vu$。若不满足交换性，封闭律会被破坏。

直积的维数关系：$\dim(G_1 \times G_2) = \dim(G_1) + \dim(G_2)$。

c. 机构学示例

两个正交方向的平移的直积

$$T(1) \times T(1) = T(2)$$

平移可交换，其直积构成群（平面平移子群）。

两个相同轴的旋转的直积

$$SO(2) \times SO(2) = SO(2)$$

相同子群的直积退化回自身。

4.2 半直积

a. 定义

群 $G_1$ 与 $G_2$ 的半直积记为 $G_1 \ltimes G_2$。

集合部分：

运算定义：

将 $G_1$ 的元素 $u$ 与 $G_2$ 的元素 $v$ 放在分块矩阵的上三角位置构成新矩阵 $\begin{bmatrix} u & v \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{bmatrix}$。相乘时，$u$ 作用于 $v$：

$$\begin{bmatrix} u_1 & v_1 \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_2 & v_2 \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u_1 u_2 & u_1 v_2 + v_1 \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{bmatrix}$$

结果对应 $(u_1 u_2,\; u_1 v_2 + v_1)$，即半直积的运算定义——第二个分量 $v_2$ 在组合时被 $u_1$ 作用。

b. 性质

半直积运算组合后的流形一定满足群的条件。

半直积的维数关系：$\dim(G_1 \ltimes G_2) = \dim(G_1) + \dim(G_2)$。

c. 机构学示例

齐次变换矩阵关于矩阵乘法构成的群 $SE(3)$ 是旋转变换矩阵群 $SO(3)$ 与空间平移变换群 $T(3)$ 的半直积：

$$SE(3) = SO(3) \ltimes T(3)$$

齐次矩阵表示下的乘法直接验证了此结构：

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{R}_1 & \boldsymbol{t}_1 \\\boldsymbol{0} & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{R}_2 & \boldsymbol{t}_2 \\\boldsymbol{0} & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{R}_1\boldsymbol{R}_2 & \boldsymbol{R}_1\boldsymbol{t}_2 + \boldsymbol{t}_1 \\\boldsymbol{0} & 1\end{bmatrix}$$

其中 $u_i = \boldsymbol{R}_i$，$v_i = \boldsymbol{t}_i$，$u_1(v_2) = \boldsymbol{R}_1 \boldsymbol{t}_2$ （旋转矩阵作用于平移向量）。

4.3 交运算

a. 定义

群的交运算记为 $G_1 \cap G_2$，其中 $G_1$、$G_2$ 为同一个群 $G$ 的两个子群。

集合部分：

运算定义：

由于 $G_1$、$G_2$ 均为群 $G$ 的子群，$G$、$G_1$、$G_2$、$G_1 \cap G_2$ 的元素之间运算规则相同。

b. 性质

交运算组合后的流形一定满足群的条件，且是 $G$ 的子群。

交运算的维数关系：$\dim(G_1 \cap G_2) \leq \min(\dim(G_1), \dim(G_2))$。

c. 机构学示例

不同约束的合并

两个轴线平行但不共线的转动副约束同一刚体时，$R(N_1, \boldsymbol{u}) \cap R(N_2, \boldsymbol{u}) = \{\boldsymbol{I}\}$ ——交集仅为恒等变换，机构被完全锁定。

球面副与过球心的转动副：$S(N) \cap R(N, \boldsymbol{u}) = R(N, \boldsymbol{u})$——较大子群吸收较小子群。

两个正交方向的平移：$T(\boldsymbol{u}) \cap T(\boldsymbol{v}) = \{\boldsymbol{I}\}$（$\boldsymbol{u} \neq \boldsymbol{v}$ ）——不同方向的运动互不包含。

4.4 商运算

a. 陪集

$H \leq G$，$G$ 关于 $H$ 形成两类陪集（coset）。

左陪集，记为 $gH$，集合部分：

右陪集，记为 $Hg$，集合部分：

陪集是 $G$ 中由 $H$ 生成的等价类划分，其元素运算定义与 $G$ 一致。所有左陪集的集合构成商空间（quotient space）$G/H$。

b. 商空间的直观理解

以 $SE(3)/T(3)$ 为例建立直观。$T(3)$ 是 $SE(3)$ 的正规子群，其元素为纯平移：

$$h=\begin{bmatrix}I & \boldsymbol t\\0 & 1\end{bmatrix}$$

而 $SE(3)$ 的一般元素可写为：

$$g=\begin{bmatrix}R & \boldsymbol p\\0 & 1\end{bmatrix}$$

其中 $R\in SO(3)$，$\boldsymbol p\in\mathbb R^3$。

对于任意固定旋转 $R$，所有具有相同旋转部分的元素：

$$(R,\boldsymbol p)$$

构成同一个关于 $T(3)$ 的陪集。因为这些元素之间仅仅相差一个纯平移，而这一差异总可以由 $T(3)$ 中的元素吸收。

例如，取：

$$g_1=(R,\boldsymbol 0)$$ $$g_2=(R,\boldsymbol t)$$

则存在：

$$h=(I,\boldsymbol t)\in T(3)$$

使得：

$$g_2=hg_1$$

即：

$$(R,\boldsymbol t)=(I,\boldsymbol t)(R,\boldsymbol 0)$$

同时，也存在：

$$h'=(I,R^{-1}\boldsymbol t)\in T(3)$$

使得：

$$g_2=g_1h'$$

即：

$$(R,\boldsymbol t)=(R,\boldsymbol 0)(I,R^{-1}\boldsymbol t)$$

之所以左右陪集给出相同的等价划分，是因为：

$$RT(3)R^{-1}=T(3)$$

即任意纯平移在旋转共轭后仍是纯平移，因此 $T(3)$ 是 $SE(3)$ 的正规子群。

因而：$SE(3)/T(3)$的商空间可以理解为：

$$将所有平移不同、但旋转相同的位姿视为等价。$$

商空间中的每个元素实际上是一个等价类：

$$[(R,\boldsymbol p)]= \{(R,\boldsymbol q)\mid \boldsymbol q\in\mathbb R^3\}$$

每个等价类都唯一对应一个旋转 $R$，因此：

$$SE(3)/T(3)\cong SO(3)$$

即：商掉平移自由度后，只剩旋转自由度。

从几何直观上，可以把“商运算”理解为“除去某些自由度”或“压缩某些维度”：

$SE(3)\cong (R,\boldsymbol t)$中，

• $R$ 表示旋转自由度；
• $\boldsymbol t$ 表示平移自由度。

而：$SE(3)/T(3)$的作用就是忽略 $\boldsymbol t$ 的差异，将所有平移不同但旋转相同的元素压缩为同一个商空间元素，并通常选取：

$$(R,\boldsymbol 0)$$

作为该等价类的代表元。

同样的思想适用于$T(3)/T(2)$： 设

$$T(3)=\{(x,y,z)\}, T(2)=\{(x,y,0)\}$$

则：

$$(x_1,y_1,z)\sim(x_2,y_2,z)$$

因而商运算会“消去” $x,y$ 两个方向，只保留 $z$ 方向：

$$T(3)/T(2)\cong T(1)$$

商空间中的每个元素都可以用：

$$(0,0,z)$$

作为代表元。

4.5 乘积运算

a. 定义

群的乘积记为 $G_1 G_2$，其中 $G_1$、$G_2$ 为同一个群 $G$ 的两个子群。

集合部分：

运算定义：

由于 $G_1$、$G_2$ 均为群 $G$ 的子群，$G$、$G_1$、$G_2$、$G_1 G_2$ 的元素之间运算规则相同。

b. 性质

乘积运算组合后的流形可能构成群，也可能不构成群：

乘积的维数关系：$\dim(G_1 G_2) \leq \dim(G_1) + \dim(G_2)$。当 $G_1$ 与 $G_2$ 的生成元线性无关时取等号。

乘积不构成群时，所得的流形称为位移子流形（displacement submanifold ）——它不具备群的代数结构，运动不能沿固定坐标轴描述。机构的末端运动是否构成群，直接决定了运动分析的复杂程度。

c.机构学示例

运动副串联

两个平行但不同轴的转动副串联：$R(N_1, \boldsymbol{u}) \cdot R(N_2, \boldsymbol{u})$，$N_1 \neq N_2$ 。乘积仅为位移子流形——两次绕不同平行轴的转动复合后产生平移，无法表示为单一转动。

三个正交平移副串联：$T(\boldsymbol{e}_1) \cdot T(\boldsymbol{e}_2) \cdot T(\boldsymbol{e}_3) = T_3$ 。乘积构成空间平移群——是群，是李群，是交换群（$T(3)$ 为 Abel 群）。

一个转动副与一个同轴移动副串联：$R(N, \boldsymbol{u}) \cdot T(\boldsymbol{u}) = C(N, \boldsymbol{u})$ 。乘积构成圆柱子群——是群，是李群，不是交换群（半直积）。

小结

群论为机构学提供了统一的代数语言：刚体运动对应李群 $SE(3)$ 及其子群，运动副的组合对应群的五种运算。

利用这些运算即可构造 $SE(3)$ 的全部 12 种位移子群，并用于表示运动副与构建运动链。